1.
Fungsi
Distribusi Suatu Peubah Acak
Misalkan
X suatu peubah acak. Fungsi F dari R ke dalam yang didefenisikan oleh :
untuk setiap x di R dinamakah fungsi
distribusi dari X. Oleh karena itu jika f adalah f.k.p dari X, maka :
Contoh 1
Peubah acak X memiliki f.k.p sebagai
berikut :
Carilah fungsi distribusi dari X dan
gambarkan grafiknya.
Penyelesaian :
a. Karena
X diskrit, maka fungsi distribusi dari X adalah
Dengan memasukkan
setiap harga x di R, kita peroleh :
b. Grafik
dai adalah sebagai berikut :
Perhatikan bahwa merupakan fungsi tangga dan kontinu kanan di
mana-mana.
|
|
|
|
|
Contoh
2
Peubah
acak X diketahui memiliki f.k.p sebagai berikut
Carilah
fungsi distribusinya dan gambarkan grafiknya.
Penyelesaian
:
a.
Karena X kontinu, maka fungsi
distribusinya adalah
(i)
Untuk x < 1, maka
(ii)
Untuk dan
Jadi
fungsi distribusi dari X adalah :
b.
Grafik dari F(x) adalah sebagai berikut
Catatan : Fungsi distribusi pada contoh
2 bersifat kontinu di mana-mana, dan kecuali di jadi f.k.p dari X sama dengan kecuali untuk karena maka dapat didefenisikan sembarang.
Sebagai konsekuensi dari sifat-sifat
peluang, maka kita peroleh sifat-sifat fungsi distribusi sebagai berikut :
untuk setiap x di R
adalah fungsi yang tidak turun, artinya jika maka
kontinu kanan dimana-mana
Sifat
(iv) dapat dijelaskan sebagai
berikut. Untuk setiap dan x
bilangan riil sembarang, berlaku :
Khususnya
bilangan X kontinu, kita peroleh :
Hal
ini berlaku pula bila X diskrit.
Jadi, karena
Maka
F kontinu kanan dimana-mana.
Keempat
sifat diatas adalah sifat karakteristik dari suatu fungsi distribusi. Artinya
bila suatu fungsi memiliki keempat sifat diatas, maka fungsi tersebut
mendefenisikan suatu fungsi distribusi.
Catatan : suatu fungsi distribusi belum
tentu kontinu kiri untuk setiap x di R, sebab ;
Dalam
hal ini X kontinu, benar F kontinu kiri dimana-mana, sebab yang berarti
Dalam
hal X diskrit dan dimana maka F
tidak kontinu kiri di x, sebab
Contoh
3
Peluang
acak X memiliki fungsi distribusi
sebagai berikut
a. Gambarlah
grafik dari
b. Hitunglah
Penyelesaian
:
a. Untuk
, grafik berupa garis lurus yang melalui titik . Jadi grafiknya adalah
sebagai berikut:
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|
b.
2.
Fungsi
Distribusi Dari Fungsi Suatu Peubah Acak
Misalkan
X peubah acak pada ruang sampel , dengan ruangnya , perhatikan fungsi
berharga riil , yang merupakan fungsi
dari X. Jadi Y merupakan fungsi komposisi yang didefenisikan pada . Artinya, untuk setiap
c di , berlaku :
Dengan
demikian, Y juga suatu peubah acak pada dan ruang dari Y adalah
Akibatnya
jika y di , maka peristiwa
Terjadi
jika dan hanya jika peristiwa terjadi. Jadi fungsi distribusi dari Y adalah
:
Untuk
memperjelas konsep diatas, perhatikanlah contoh berikut.
Contoh
4
Peubah
acak X diketahui memiliki f.k.p sebagai berikut
Jika
, tentukanlah fungsi
distribusi dan f.k.p dari Y.
Penyelesaian
:
a. Fungsi
distribusi dari Y adalah karena
Maka
ruang dari Y adalah
(i)
Untuk , maka sebab
(ii)
Untuk , maka
(iii)
Untuk , maka
Jadi fungsi distribusi
dari Y adalah :
b. Karena
F kontinu dimana-mana, maka f.k.p dari Y adalah
Jadi
3.
Fungsi
Distribusi Bersama Dari Beberapa Peubah Acak
Misalkan
peubah-peubah acak pada ruang sampel fungsi F
dari ke dalam yang didefenisikan oleh
Dinamakan
fungsi distribusi bersama dari . Jadi, jika f.k.p bersama dari , maka
Jadi,
jika kontinu maka di titik-titik dimana kontinu,
berlaku :
Contoh
5
Peubah-peubah
acak X, Y, Z memiliki f.k.p bersama sebagai berikut
Carilah
fungsi distribusi bersama X, y, Z.
Penyelesaian
:
Jelas
X, Y, Z kontinu. Jadi fungsi distribusi bersama dari X, Y, Z adalah
(i)
Untuk , intengral lipat 3
dikanan menghasilkan
(ii)
Untuk x,y,z yang lain, kita peroleh
Jadi