Distribusi Peubah Acak


v  Pengertian PeubahAcak
Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Peubah acak biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya akan dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x. Sebagai contoh 1:
Sebuah mata uang dilantungkan 3 kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muncul muka. Apakah X suatu peubah acak ? Jika iya, tentukanlah ruang dari X.
Penyelesaian:
Misalkan T adalah ruang sampel. Maka:
T = {MMM, MMB, MBM, BMM, BBM, BMB, MBB, BBB}
Dimana, M = munculnya muka dan B = munculnya belakang.
Ruangsampel
X
MMM
MMB
MBM
BMM
BBM
BMB
MBB
BBB
3
2
2
2
1
1
1
0

Dari tabel di atas, ternyata fungsi X merupakan peubah acak yaitu T ke dalam R. Dan ruang dari X adalah Ex = {0,1,2,3} di R. Dari contoh di atas maka fungsi X dari T ke dalam R dinamakan peubah acak. Sedangkan hasil dari X adalah Ex = { x | x = X(c), c di T} ini dikatakan ruang peubah acak X atau ruang dari X, yaitu hasil transformasi dari titik di ruang sampel T di R.
Jadi, tiap kemungkinan nilai X menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan.
Misalkan X suatu peubah acak pada ruang T dengan Ex sebagai ruang dari X. Untuk setiap peristiwa c  T maka A = X(c) ={ x  x =X(c), c di C}  Ex. Demikian pula untuk setiap A  Ex maka C = X-1(E) = { c  X(c) di A} adalah suatu peristiwa  T. Dalam kaitan inilah maka setiap himpunan bagian dari Ex dinamakan peristiwa. Masalahnya sekarang, bagaimana menghitung peluang dari suatu peristiwa A  Ex. Untuk membedakan dengan peluang dari peristiwa c  T atau P(c), maka peluang dari peristiwa A  Ex ditulis Px(A).  Bila C = X-1(E), maka peluang dari E didefinisikan sebagai berikut:
Px(A) = P(C)
Lambang Px(A) tidak lain menyatakan peluang bahwa harga peubah acak X terletak dalam A. Oleh karena itu Px(A) sering kali ditulis Px(X di A). Jadi,
Px(X di A) = Px(A) = P[X-1(A)] = P(C)
Domain dari P merupakan koleksi himpunan bagian dari T. Sedangkan domain dari Px merupakan koleksi himpunan bagian dari Ex.
Contoh 2:
Pada contoh 1. Kita misalkan mata uang yang digunakan bersifat seimbang. Hitunglah :
a.     P(X = x) untuk setiap x di Ex
b.    P(X  2)
c.     P(1  X  3)
Penyelesaian:
Karena mata uangnya seimbang, maka ruang sampel T = {MMM, MMB, MBM, BMM, BBM, BMB, MBB, BBB} uniform. Pada contoh 1 diperoleh Ex = {1, 2, 3, 4}
a.         Karena T uniform, maka :
P( X = 0) = P(BBB) =
P( X = 1) = P(BBM, BMB, MBB) =
P( X = 2) = P(MMB, MBM, BMM) =
P( X = 3 )= P(MMM) =

Jadi untuk setiap harga x di Ex, P( X = x ) dapat dinyatakan pada tabel berikut.
x
0
1
2
3
P(X = x)

Yang dinamakan tabel distribusi peluang dari x atau disingkat distribusi dari X.
b.        P( X < 2) = P(X = 0 atau 1) = P( X =0) + P( X = 1)
=  +
=
c.         P( 1  X 3) = P( X = 2 atau 3 ) = P( X = 2) + P( X =3 )
=  +
=
Peubah acak ada 2, yaitu peubah acak diskrit peubah acak kontinu.
1.    Peubah Acak Diskrit
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit. Dengan kata lain peubah acak diskrit itu adalah variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Peubah acak ini jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.
Di dalam peraktek suatu sampel T, umumnya kita mendefinisikan lebih 1 buah peubah acak. Misalkan kita mendefinisikan n buah peubah acak X1, X2,....,Xn kita tuliskan Xi(c) = xi, i = 1, 2, ..., n bila c di T. Maka ruan peubah dari peubah-peubah acak X1, X2, ....., Xn atau ruang bersama X1, X2, ...., Xn. Yakni jelajah dari X1, X2, ....., Xn adalah himpunan urutan n buah bilangan berikut:
 = { (x1, x2, ....., xn)  xi = Xi (c), c di T, i = 1, 2, ......, n}
Dalam pembahasan selanjutanya indeks X1, X2, ......, Xn pada  akan dihilangkan, kecuali jika diperlukan jelas   Rn

Contoh 3:
Sebuah mata uang dilantungkan 3 kali. Misalkan:
X = banyaknya muncul bagian muka
Y = banyaknya muncul bagian  bagian belakang yang didahului oleh munculnya bagian muka.
Tentukan:
a.          ruang dari X.
b.         ruang dari Y.
c.          ruang bersama X dan Y.
Penyelesaian:
a.    Dari contoh 1 telah didapat ruang dari X, yaitu Ex = {0, 1, 2, 3}
b.    Karena,
Y(MMM) = Y(BBB) = Y(BBM) = Y(BMM) = 0
Y(MMB) = Y(MBM) = Y(BMB) = 1
Y(MBB) = 2
Maka ruang dari Y adalah Ey  = {0, 1, 2}
c.    Ruang bersama  X dan Y adalah
Exy = { ( x, y )  x = 0, 1, 2, 3 dan y = 0, 1, 2}
      = { (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2)}
Exy adalah himpunan bagian dari R2.
Misalkan E ruang bersama X1, X2, ......, Xn untuk setiap peristiwa c  T, maka
 E = { (X1, X2, ....., Xn)  xi = Xi (c), c di C, i = 1, 2, ....., n}
Adalah suatu peristiwa  E. Demikian pula untuk setiap A  Ex maka
C = { c  [ X1(c), X2(c), ......, Xn(c)] di A}
adalah suatu peristiwa  T. Oleh karena itu peluang terjadinya A, ditulis
P(A) atau P[ (X1, X2, ......, Xn) di A ]. Diberikan oleh
P[ (X1, X2, ......, Xn) di A ] = P(C).
Contoh:
Sebuah mata uang dilantungkan 3 kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muncul muka, di mana mata uang yang digunakan bersifat seimbang. Hitunglah peluang P[ (X,Y) = (x,y)] untuk setiap (X,Y) Exy.
Penyelesaian:
Perhatikan tabel berikut:
                     x                       y
0
1
2
3
0
{BBB}
{BBM}
{BMM}
{MMM}
1
{BMB}
{MMB, MBM}
2
{MBB}

Isi tabel ini, pada X = x dan Y = y, x = 0, 1, 2, 3 dan y = 0, 1, 2 menyatakan peristiwa C  T sehingga X(c) = x dan Y(c) = y untuk setiap c di C. Karena T uniform, maka berdasarkan tabel itu kita peroleh:
·           P( X = 0, Y = 0 ) = P( X = 1, Y = 0) = P( X = 2, Y = 0 )
= P( X = 3, Y = 0 ) = P( X =1, Y =1 )
= P( X = 1, Y= 2)
=
·           P( X = 2, Y = 1 ) = P [ (MMB,MBM) ]
=  
·           P( X = 0, Y = 1 ) = P( X = 0, Y = 2 ) = P( X = 2, Y = 2 )
= P(X = 3, Y = 1) = P( X = 3, Y = 2 )
= P(  )
= 0
Hasil perhitungan seperti ini biasa disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
                      X
y
0
1
2
3
0
1
0
0
2
0
0
0

Inilah yang dinamakan tabel distribusi peluang bersama X dan Y atau disingkat distribusi bersama X dan Y.
2.    Peubah acak kontinu
Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan.
Contoh:
Diketahui ruang sampel T = { c  0 < c < 1 }. Peubah acak X didefinisikan oleh :
X(c) = 3c + 2 untuk setiap c di T
a.         Tentukan ruang dari X
b.        Hitunglah peluang dari E = { x  3 < x < 4 }, jika P(c) = c  untuk setiap c  T
Penyelesaian:
a.         X(c) = 3c + 2 adalah persamaan garis lurus. Karena domainnya T = { c  0 < c < 1 }
Maka hasilnya adalah { x  2 < x < 5 }. Jadi ruang dari X adalah E =  { x  2 < x < 5 }
b.        Karena A = { x  3 < x < 4 } maka X-1(A) = { c  c di T,  < c <  }.
       Jadi,
 P(A) = P(X di A) = P( 3 < X < 4)
= P [ X-1 (A) ]
=
=  -
=