v Pengertian PeubahAcak
Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Peubah acak biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X,
sedangkan nilainya akan dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.
Sebagai contoh 1:
Sebuah mata uang dilantungkan 3 kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muncul muka. Apakah X suatu peubah acak ? Jika iya, tentukanlah ruang dari X.
Penyelesaian:
Misalkan
T adalah ruang sampel. Maka:
T
= {MMM, MMB, MBM, BMM, BBM, BMB, MBB, BBB}
Dimana,
M = munculnya muka dan B = munculnya belakang.
Ruangsampel
|
X
|
MMM
MMB
MBM
BMM
BBM
BMB
MBB
BBB
|
3
2
2
2
1
1
1
0
|
Dari
tabel di atas, ternyata fungsi X merupakan peubah acak yaitu T ke dalam R. Dan ruang dari X adalah Ex = {0,1,2,3} di R. Dari contoh di atas maka fungsi X dari T ke dalam R
dinamakan peubah acak. Sedangkan hasil dari X adalah Ex = { x | x =
X(c), c di T} ini dikatakan ruang peubah acak X atau ruang dari X, yaitu hasil transformasi dari titik di ruang sampel T di R.
Jadi,
tiap kemungkinan nilai X menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan.
Misalkan X suatu peubah acak pada ruang T dengan Ex
sebagai ruang dari X. Untuk setiap peristiwa c 
T maka A = X(c) ={ x 
x =X(c), c di C} Ex. Demikian pula untuk setiap A Ex maka C = X-1(E) = { c
X(c) di A} adalah suatu peristiwa T. Dalam kaitan inilah maka setiap himpunan
bagian dari Ex dinamakan peristiwa. Masalahnya sekarang, bagaimana
menghitung peluang dari suatu peristiwa A Ex. Untuk membedakan dengan peluang
dari peristiwa c T atau P(c), maka peluang dari peristiwa A Ex ditulis Px(A). Bila C = X-1(E), maka peluang dari
E didefinisikan sebagai berikut:
T maka A = X(c) ={ x x =X(c), c di C} Ex. Demikian pula untuk setiap A Ex maka C = X-1(E) = { c
X(c) di A} adalah suatu peristiwa T. Dalam kaitan inilah maka setiap himpunan
bagian dari Ex dinamakan peristiwa. Masalahnya sekarang, bagaimana
menghitung peluang dari suatu peristiwa A Ex. Untuk membedakan dengan peluang
dari peristiwa c T atau P(c), maka peluang dari peristiwa A Ex ditulis Px(A). Bila C = X-1(E), maka peluang dari
E didefinisikan sebagai berikut:
Px(A) = P(C)
Lambang Px(A) tidak lain menyatakan peluang
bahwa harga peubah acak X terletak dalam A. Oleh karena itu Px(A)
sering kali ditulis Px(X di A). Jadi,
Px(X di A) = Px(A) = P[X-1(A)]
= P(C)
Domain dari P merupakan koleksi himpunan bagian dari T.
Sedangkan domain dari Px merupakan koleksi himpunan bagian dari Ex.
Contoh 2:
Pada contoh 1. Kita misalkan mata uang yang digunakan
bersifat seimbang. Hitunglah :
a.
P(X = x) untuk
setiap x di Ex
b.
P(X 2)
2)
c.
P(1 X 3)
X 3)
Penyelesaian:
Karena mata uangnya seimbang, maka ruang sampel T = {MMM,
MMB, MBM, BMM, BBM, BMB, MBB, BBB} uniform. Pada contoh 1 diperoleh Ex
= {1, 2, 3, 4}
a.
Karena T uniform,
maka :
P(
X = 0) = P(BBB) = 
P(
X = 1) = P(BBM, BMB, MBB) =
P(
X = 2) = P(MMB, MBM, BMM) =
P(
X = 3 )= P(MMM) =
Jadi untuk setiap harga
x di Ex, P( X = x ) dapat dinyatakan pada tabel berikut.
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
P(X = x)
|
 |
 |
|
|
Yang dinamakan tabel
distribusi peluang dari x atau disingkat distribusi dari X.
b.
P( X < 2) = P(X =
0 atau 1) = P( X =0) + P( X = 1)
= +
+
=
c.
P( 1 X 3) = P( X = 2 atau 3 ) = P( X = 2) + P( X =3 )
X 3) = P( X = 2 atau 3 ) = P( X = 2) + P( X =3 )
= +
+
=
Peubah acak ada 2, yaitu peubah acak diskrit peubah acak kontinu.
1. Peubah Acak Diskrit
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit. Dengan kata lain peubah acak diskrit itu adalah variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Peubah acak ini jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang
terpisah.
Di dalam peraktek suatu
sampel T, umumnya kita mendefinisikan lebih 1 buah peubah acak. Misalkan
kita mendefinisikan n buah peubah acak X1, X2,....,Xn
kita tuliskan Xi(c) = xi, i = 1, 2, ..., n bila c di T.
Maka ruan peubah dari peubah-peubah acak X1, X2, .....,
Xn atau ruang bersama X1, X2, ...., Xn. Yakni
jelajah dari X1, X2, ....., Xn adalah himpunan
urutan n buah bilangan berikut:
= { (x1, x2, ....., xn)
xi = Xi (c), c di T, i = 1, 2, ......, n}
Dalam
pembahasan selanjutanya indeks X1, X2, ......, Xn
pada akan dihilangkan, kecuali jika diperlukan
jelas Rn
akan dihilangkan, kecuali jika diperlukan
jelas Rn
Contoh 3:
Sebuah
mata uang dilantungkan 3 kali. Misalkan:
X
= banyaknya muncul bagian muka
Y = banyaknya muncul bagian bagian belakang yang didahului oleh munculnya
bagian muka.
Tentukan:
a.
ruang dari X.
b.
ruang dari Y.
c.
ruang bersama X dan Y.
Penyelesaian:
a. Dari
contoh 1 telah didapat ruang dari X, yaitu Ex = {0, 1, 2, 3}
b. Karena,
Y(MMM)
= Y(BBB) = Y(BBM) = Y(BMM) = 0
Y(MMB)
= Y(MBM) = Y(BMB) = 1
Y(MBB)
= 2
Maka ruang dari Y
adalah Ey = {0, 1, 2}
c. Ruang
bersama X dan Y adalah
Exy = { ( x, y ) x = 0, 1, 2, 3 dan y = 0, 1, 2}
x = 0, 1, 2, 3 dan y = 0, 1, 2}
= { (0,0), (0,1),
(0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2)}
Exy
adalah himpunan bagian dari R2.
Misalkan
E ruang bersama X1, X2, ......, Xn untuk
setiap peristiwa c T, maka
T, maka
E
= { (X1, X2, ....., Xn) xi = Xi (c), c di C, i =
1, 2, ....., n}
xi = Xi (c), c di C, i =
1, 2, ....., n}
Adalah
suatu peristiwa E. Demikian pula untuk setiap A Ex maka
E. Demikian pula untuk setiap A Ex maka
C = { c [ X1(c), X2(c), ......,
Xn(c)] di A}
[ X1(c), X2(c), ......,
Xn(c)] di A}
adalah
suatu peristiwa T. Oleh karena itu peluang terjadinya A, ditulis
T. Oleh karena itu peluang terjadinya A, ditulis
P(A) atau P[ (X1,
X2, ......, Xn) di A
]. Diberikan oleh
P[
(X1, X2, ......, Xn) di A ] = P(C).
Contoh:
Sebuah
mata uang dilantungkan 3 kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muncul muka, di
mana mata uang yang digunakan bersifat seimbang. Hitunglah peluang P[ (X,Y) =
(x,y)] untuk setiap (X,Y) Exy.
Penyelesaian:
Perhatikan
tabel berikut:
 x y |
0
|
1
|
2
|
3
|
0
|
{BBB}
|
{BBM}
|
{BMM}
|
{MMM}
|
1
|
 |
{BMB}
|
{MMB,
MBM}
|
|
2
|
|
{MBB}
|
|
|
Isi
tabel ini, pada X = x dan Y = y, x = 0, 1, 2, 3 dan y = 0, 1, 2 menyatakan
peristiwa C T sehingga X(c) = x dan Y(c) = y untuk setiap c di C.
Karena T uniform, maka berdasarkan tabel itu kita peroleh:
T sehingga X(c) = x dan Y(c) = y untuk setiap c di C.
Karena T uniform, maka berdasarkan tabel itu kita peroleh:
·
P( X = 0, Y = 0 ) = P(
X = 1, Y = 0) = P( X = 2, Y = 0 )
=
P( X = 3, Y = 0 ) = P( X =1, Y =1 )
=
P( X = 1, Y= 2)
=
·
P( X = 2, Y = 1 ) = P [
(MMB,MBM) ]
=
·
P( X = 0, Y = 1 ) = P(
X = 0, Y = 2 ) = P( X = 2, Y = 2 )
= P(X = 3, Y = 1) = P(
X = 3, Y = 2 )
= P( 
)
)
= 0
Hasil
perhitungan seperti ini biasa disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
 X
y
|
0
|
1
|
2
|
3
|
0
|
|
|
|
|
1
|
0
|
|
 |
0
|
2
|
0
|
|
0
|
0
|
Inilah
yang dinamakan tabel distribusi peluang bersama X dan Y atau disingkat
distribusi bersama X dan Y.
2.
Peubah acak kontinu
Peubah acak
kontinu adalah peubah acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah
interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval
tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan.
Contoh:
Diketahui
ruang sampel T = { c 0 < c < 1 }. Peubah acak X didefinisikan
oleh :
0 < c < 1 }. Peubah acak X didefinisikan
oleh :
X(c)
= 3c + 2 untuk setiap c di T
a.
Tentukan ruang dari X
b.
Hitunglah peluang dari
E = { x 3 < x < 4 }, jika P(c) = c 
untuk setiap c T
3 < x < 4 }, jika P(c) = c untuk setiap c T
Penyelesaian:
a.
X(c) = 3c + 2 adalah
persamaan garis lurus. Karena domainnya T = { c 0 < c < 1 }
0 < c < 1 }
Maka hasilnya adalah {
x 2 < x < 5 }. Jadi ruang dari X adalah E
= { x 2 < x < 5 }
2 < x < 5 }. Jadi ruang dari X adalah E
= { x 2 < x < 5 }
b.
Karena A = {
x 3 < x < 4 } maka X-1(A) = { c
c di T, < c < }.
3 < x < 4 } maka X-1(A) = { c
c di T, < c < }.
Jadi,
P(A) = P(X di A) = P( 3 < X < 4)
= P [ X-1
(A) ]
= 
= -
-
=
Boleh minta file word nya gak?
ReplyDelete