Peluang Kejadian Bersyarat

A.           Peluang Kejadian Bersyarat

Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dengan syarat B adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh persyaratan kejadian B telah muncul. Kejadian munculnya A dengan syarat B ditulis A|B. Demikian juga sebaliknya, kejadian B dengan syarat A, ditulis B|A adalah kejadian munculnya B dengan syarat kejadian A telah muncul.

Adapun peluang kejadian bersyarat dapat dirumuskan sebagai berikut:

a.    Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah P(A|B) = , dengan P(B) > 0 b.    Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah P(B|A) = , dengan P(A) > 0

 

Contoh:

Misalkan ada dua dadu dilempar secara bersama-sama. Jika jumlah angka yang muncul dalam kedua dadu adalah 6, tentukan peluangnya bahwa salah satu dadu muncul angka 2.

Penyelesaian:

Misalkan A adalah kejadian jumlah angka yang muncul dalam kedua dadu adalah 6 dan B adalah kejadian salah satu dadu muncul angka 2. Maka, anggota-anggota A, B dan A  B adalah sebagai berikut:

A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}

A  B = {(2,4), (4,2)}

Sedangkan untuk ruang sampelnya yaitu S sebagai berikut:

Dadu 1            Dadu 2	1	2	3	4	5	6
1	1,1	2,1	3,1	4,1	5,1	6,1
2	1,2	2,2	3,2	4,2	5,2	6,2
3	1,3	2,3	3,3	4,3	5,3	6,3
4	1,4	2,4	3,4	4,4	5,4	6,4
5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
6	1,6	2,6	3,6	4,6	5,6	6,6

Jadi,  n(S) = 36

n(A) = 5

n(B) = 11

n(A∩B) = 2

P (A ∩ B) =

P(A) =

Berarti, P (B|A) =  =  =

1)      Kejadian Bebas

Peluang bersyarat dapat mengubah peluang suatu kejadian karena adanya keterangan tambahan yang biasa disebut kejadian bebas. Dalam hal ini, terjadinya A atau B tidak mempengaruhi terjadinya B atau A, atau terjadinya A bebas dari terjadinya B atau terjadinya B bebas dari terjadinya A.

Sehingga, dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika:

P(B|A) = P(B)

dan

P(A|B) = P(A)

Contoh:

Suatu percobaan yang menyangkut pengambilan kartu berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian ditentukan sebagai:

A : kartu pertama yang terambil as,

B : kartu kedua sebuah skop

Penyelesaian:

Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri atas 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop.

n(S) = 52

n(A) = 4

n(B) = 13

Maka,

P(B|A) = P(B) =  =  =

2)      Aturan Perkalian

Misalkan terdapat sembarang bilangan a,b dan c dengan c  0. Kita masih ingat jika a =  , berlaku b = a x c. Di samping itu, di dalam operasi irisan dua himpunan A dan B berlaku A  B = B  A. Dengan demikian, rumus peluang kejadian bersyarat di atas dapat ditulis sebagai berikut:

a.       Karena P(A|B) = , dengan P(B) > 0 maka P (A  B) = P(B) x P(A|B)

b.      Karena P(B|A) = , dengan P(A) > 0 dan B  A = A  B maka P(A B) = P(A) x P(B|A)

Jika kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian bersyarat, peluang terjadinya A dan B adalah: P(A B) = P(B) x P(A|B) P(A B) = P(A) x P(B|A)

Aturan tersebut dikenal dengan aturan perkalian untuk kejadian bersyarat. Secara lebih lengkap aturan itu berbunyi sebagai berikut:

Misalkan kejadian A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, artinya terjadi atau tidaknya kejadian A tidak bergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B dan sebaliknya, berlaku P(A|B) = P(A) dan P(B|A) = P(B). Jadi, untuk dua kejadian saling bebas stokastik, aturan perkalian di atas berubah menjadi berikut ini:

Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, berlaku

P(B A) = P(B) x P(A|B) = P(B) x P(A)

P(A B) = P(A) x P(B|A) = P(A) x P(B)

Contoh:

Misalkanlah kita mempunyai kotak berisi 20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak), berapakah peluang kedua sekering itu cacat?

Penyelesaian:

Misalkan,

A = kejadian bahwa sekering pertama cacat = 5

B = kejadian bahwa sekering kedua cacat = 4

A ∩ B = kejadian kedua sekering itu cacat (bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi)

Maka,

P(A) = 5/20 = ¼

P(B) = 4/19

Sehingga,

P (A∩B) = (¼)(4/19) = 1/19

B.            Peluang Kejadian Marginal

Misalkan A₁, A₂ dan A₃ adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. Berikut ini menunjukkan kejadian-kejadian tersebut dalam S.

S      A1 B

A2

A3

Pada gambar tersebut tampak bahwa kejadian B dapat dinyatakan sebagai:

B = (B A₁) (B A₂) (B A₃)

Akan tetapi, kejadian (B A₁), (B A₂) dan (B A₃) adalah saling lepas, sehingga peluang kejadian B menjadi:

P(B) = P(B A₁) + P(B A₂) + P(B A₃)

Sedangkan P(B A₁) = P(B|A₁) . P(A₁), P(B A₂) = P(B|A₂) . P(A₂), dan P(B A₃) = P(B|A₃) . P(A₃), sehingga P(B) menjadi sebagai berikut:

P(B) = P(B|A₁) . P(A₁) + P(B|A₂) . P(A₂) + P(B|A₃) . P(A₃)

=

Dari rumus tersebut kita dapat menentukan peluang kejadian bersyarat A₁|B, A₂|B dan A₃|B yaitu:

Secara umum, bila A₁, A₂, A₃, ........, A_n kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka peluang kejadian bersyarat A_i | B dirumuskan sebagai berikut:

Rumus ini disebut rumus Bayes.

Contoh:

Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup, Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kota 1, kotak 2 dan kotak 3?

Penyelesaian:

2 merah

1 merah 1 putih

1 putih

Kotak 1                         Kotak 2                         Kotak 3

A₁                                                A₂                                  A₃

Misalkan,   A₁   =   kejadian terambilnya kotak 1

                   A₂   =   kejadian terambilnya kotak 2

                   A₃   =   kejadian terambilnya kotak 3

                   B     =   kejadian terambilnya bola merah

Yang ditanya: P(A₁|B), P(A₂|B), P(A₃|B)

Karena pengambilan secara acak, maka P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3

Peluang terambilnya bola merah dari kotak 1 adalah P(B|A₁) = 1, selain kotak 1 hanya berisi 2 bola merah. Peluang terambilnya bola merah dari kotak 2 adalah P(B|A₂) = ½ , sebab hanya ada 1 bola merah dari 2 bola yang ada.

Peluang terambilnya bola merah dari kotak 3 adalah P(B|A₃) = 0, sebab kotak 3 tidak berisi bola merah. Maka diperoleh:

 Jadi,