1.
Pengantar
Melalui
f.k.p dari peubah acak X. Anda dapat memahami bentuk distribusi harga-harga X.
Dengan bantuan ekspektasi matematika, atau nilai harapan . Anda dapat mengkaji
sifat-sifat dari distribusi tersebut. Pada pokok bahasan ini kita akan
mempelajari pengertian ekspekasi matematika, sifat-sifatnya serta beberapa
aplikasinya. Pokok bahasan ini dibagi dalam dua kegiatan belajar. Kegiatan
belajar 1 membahas tentang pengertian ekspektasi matematika dan beberapa jenis
ekspektasi matematika, yakni: mean, variansi, dan fungsi pembangkit momen. Di
sini disinggung pula tentang fungsi karakteristik. Selanjutnya, kegiatan
belajar 2 membahas tentang ketidaksamaan Chebyshev, yang memberikan batas atas
( atau batas bawah ) dari harga peluang suatu peristiwa tertentu.
2.
Tujuan Instruksional Umum.
Setelah
mempelajari pokok bahasan, anda diharapkan mampu memahami pengertian dan
sifat-sifat ekspektasi matematika.
3.
Tujuan Instruksional Khusus.
Setelah
mempelajari pokok bahasan ini dengan baik, anda diharapkan :
a.
Menjelaskan pengertian ekspektasi matematika dari fungsi
satu atau beberapa peubah acak.
b.
Menjelaskan dan menggunakan sifat-sifat ekspektasi
matematika.
c.
Menjelaskan dan menghitung mean serta variansi menurut
defenisi.
d.
Menghitung variansi dengan menggunakan rumus :
= E (
) -
e.
Menjelaskan dan mengcari fungsi pembangkit momen dari suatu
peubah acak.
f.
Menghitung mean dan variansi dengan menggunakan f.p.m.
g.
Mencari momen dengn menggunakan f.p.m.
h.
Menjel;askan kembali Teorema 1. Pada kegiatan belajar 2.
i.
Menggunakan ketidaksamaan Chebyshev.
j.
Menggunakan ketidaksamaan Chebyshev untuk mencari ;
(i).
Batas atas dari harga
(ii).
Batas bawa dari harga
4.
Kegiatan belajar 1.
Pengertian
dan jenis-jenis Ekspektasi matematika.
4.1.
Uraian Dan Contoh .
Misalkan
x suatu peubah acak dengan ruangnya
dan f . k punya f (x ). Ini berarti bahwa harga-harga x di
terdistribusi yang
dinyatakan oleh f (x ). Konsep ekspektasi matematika dalam teori peluang adalah
serupa dengan konsep pusat massa dari suatu benda yang memiliki rapat massa f
(x ). Konsep ini dirumuskan sebagai berikut .
Definisi
: Misalkan
(x) suatu fungsi dari
x . besaran
(jika
ada ), dinamakan ekspektasi matematika atau nilai harapan dari u (x)
.
Pada defenisi perlu anda
pehatikan baik-baik bahwa u (x) adalah
fungsi dari x . disebut saja y = u (x) . Maka y memiliki f,k,.p tersendiri dan ruangnya tersendiri .
Misalnya f.k.p. nya g(y) dan ruangnya
.y maka :
(iii).
Jika k1 . k2……km konstanta - konstanta dan P1.P2…….Pm
fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :
E
[ k1 .v1 + k2.v2+ ……+ km. vm ] = k1
E {v1} + k2 E [V2] + …….+ km E [ Vm]
Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan
ekspektasi matematika. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah
acak distribisi diskrit dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.
Contoh 2 :
Misalkan x memiliki f.k.p
sebagai berikut :
Carilah : E (X) , E (
dan E ( 6x + 3
).
Penyelesaian :
Oleh karena itu
=
x kontinu
Dan
Konsep ekspektasi
matematik dapat dikembangkan pada beberapa peubah acak sekaligus .misalkan f(X1.X
2……… Xn). F.k.p bersama dari X1 .X2……Xn.
Besaran (jika ada):
E [u ( X1, X2………,Xn
) ].
=
Dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari :
u (x1 . x2
….xn )
Pengamatan terhadap
definisi di atas menunjukkan bahwa
ekspektasi matematik, yang diberi
lambing E, adalah suatu operator linier. Artinya E bersifat :
(i)
E (k) = k untuk setiap konstanta k
(ii)
Jika k suatu konstanta dan v suatu fungsi dari satu atau
beberapa peubah acak ,maka ;
E [ kv ]
= k E (v)
(iii)
Jika k1,k2,…km
konstanta-konstanta dan v1.v2….vm
fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :
E
[ k1 v1 + k2 v2 + …+ km
vm = k1 E[v1]
+ k2 E [v2]+……+km E[vm]
Berikut
ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan ekspektasi matematik .Contoh
pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh kedua dan ketiga tentang satu
peubah acak diskrit , dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.
Contoh
2 :
Misalkan
x memiliki f.k.p sebagai berikut :
f
(x)=
Carilah
E(X), E(X2) dan EK(6X + 3X2)
Penyelesaian
a.
E
b.
E
c.
E
Contoh 3:
Misalkan X memiliki f.
k.p sebagai berikut:
Carilah E(x) dan E(x3)
Penyelesaian:
a).
b).
Contoh 4:
Sebuah kotak berisi 5 bola : 3 bola merah dan 2 bola
putih. Si Budi mengambil 2 bola putih. Si Budi
mengambil 2 bola sekaligus secara acak dari kotak itu.
Untuk setiap bola merah
yang mengambil, dia memperoleh hadiah Rp 1000 sedangkan untuk setiap b
ola putih yang terambil. Dia mendapat Rp 4000.
Berapakah jumlah hadiah yang diharapkan Budi?
Penyelesaian:
Kita tuliskan x peubah
acak yang menyatakan jumlah hadiah yang diperoleh akan dicari E(X).
X adalah peubah acak diskrit ddan ruangnya adalah
=
.Misalkan f,
k, p, nya f(x).
Maka:
=
=
=
Sekarang kita peroleh:
=
=4400
Jadi jumlah hadiah yang
diharapkan adalah Rp4400
Contoh 5
f.k.p. bersama dari x dan
y adalah,
Carilah E(x) dan E(xy2)
Penyelesaian:
a).
=
=
b).
=
=
Catatan:
Perhatikan baik-baik
bahwa:
Pada contoh 2,
Pada contoh 3,
Fenomena ini
memperlihatkan bahwa pada umumnya
belum tentu sama dengan
Dalam praktek, ada
beberapa jenis ekspentansi matematik yang sering digunakan. Empat jenis
diantaranya akan dibahas di sini, yakni: mean,variasi,fungsi pembangkit momen
dan fungsi karakteristik.
Untuk itu misalkan peubah
acak x memiliki f.k.p.f(x).
1).Mean dari x
Besaran
dinamakan mean
dari x. Telah diutarakan di depan bahwa pengertian ekspektasi matematik serupa
dengan pengertian pusat masa. Khususnya dalam hal x kontinu, mean
dapat ditulis
sebagai berikut:
Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan pusat
masa benda yang memiliki rapat masa f(x). Jadi
dapt diartikan sebagai titik disekitar mana harga-harga
terkonsentrasi.
2). Variansi dari x
Besaran
dinamakan variansi dari x
sedangkan
(akar positif dari variansi)
dinamakan deviasi standar dari x. Khususx dalam hhal x kontinu,
dapat ditulis sebagai
berikut:
Dalam kalkulus, formulasi
ini menyatakan momen inersia benda yang mempunyai rapat masa f(x), di sekitar
. Jadi
dapat diartikan sebagai ukuran penyebaran harga-harga
x disekitar titik
. Pada teorema berikut ditemukan cara menghitung
yang lebih sederhana.
Teorema 1:
Variasi
dari x dapat ditulis sebagai berikut:
Bukti :
=
=
Catatan :
Khususnya apabila ruang
cari x hanya terdiri atas 1 buah titik, maka
=0
Contoh 6:
Misalkan peubah acak x
mempunyai f.k.p sebagai berikut:
Hitunglah mean,variansi
dan deviasi standar dari x.
Penyelesaian:
a). Mean dari x, adalah:
b).
jadi, variansi dari x
adalah,
c).deviasi standar dari x
adalah
Mean dan variansi, tidak
dijamin selalu ada. Hal ini akan tergantung kepada f.k.p.nya. Umpamanya seperti
pada contoh berikut:
Contoh 7:
Misalkan peubah acak x
memiliki f.k.p sssebagai berikut:
Carilah mean dan variansi
dari x
Penyelesaian:
Mean dari x adalah:
=
Jadi,
tidak ada
Karena
tidak ada, maka
pun tidak ada.
Penyelesaian:
Mean dari x, adalah:
=
Jadi
tidak ada, maka
pun tidak ada.
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Asalkan h suatu bilangan riil positif
sehingga, harga E
untuk setiap t di (-h,h). Fungsi
dinmakan fungsi
pembangkit momen (f,p,m) dari x Nama ini dipakai, mengingat bahwa fungsi m(t)
jika ada, dapat menentukan momen-momen dari x secara langsung.
Salah satu sifat yang penting dari
f,p,m. m(t) adalah bahwa m(t) unik untuk setiap f,k,p. Demikianpula sebaliknya,
terdapat korespondensi 1-1 antara f,p,m dan f,k,p. Buki dari sifat ini dapat
anda temukan dalam mata kuliah analisis. Khusus untuk kasus x diskrit, sifat
tersebut dapat dijelaskan melalui contoh berikut:
Contoh 8:
Misalkan sebuah acak x
memiliki f,p,m. sebagai berikut:
Tentekan f,p,m dari x
memiliki bentuk:
Jadi x dikstrit. Oleh
karena itu, kita tuliskan
sekarang perrhatikan persamaan berikut.
Kesamaan ini berlaku
untuk setiap t. sedangkan
akibatnya, ruas kanan haruslah terdiri atas 4 suku
yang tidak nol. Misalkan ruas kanan tersebut adalah :
Jadi dapat kita ambil
Dengan demikian f,k,p
dari x adalah:
Catatan: Berdasarkan
uraian dan contoh di atas, maka:
