Fungsi Pembangkit Momen

A.   MOMEN

1.    Momen

Jika X adlah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan µ^'_k ) dengan didefinisikan sebagai:

 2.   Momen Diskrit 
Jika X adlah peubah acak diskrit dan p (x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k (dinotasikan dengan µ^'_k ) didefinisikan sebagai:

Contoh:  
Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X 

Hitunglah nilai  µ^'₃

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi momen diskrit, maka:

3.     Momen Kontinu 
Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen ke-k ( dinotasikan dengan µ^'₃) didefinisikan sebagai :

Contoh :

Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk:

Hitung µ^'₃ 
Penyelesaian :

B.   FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
       Pada bagian sebelumnya, kita membahas momen ke- k yang dinotasikan dengan µ^'_k . Momen ini bisa juga diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan fungsi pembangkit momen. Sehingga  fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen – momen. Selain itu, penentuan distribusi baru dari peubah acak yang baru merupakan kegunaan lain fungsi pembangkit momen.

1.    Fungsi pembangkit Momen 

Definisi 1 

Jika X adalah peubah acak , baik dari diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari

X ( dinotasikan dengan (M_x(t)) didefinisikan sebagai : 

M_x(t) = E(e^tX) 

Untuk –h < t 0

2.     Fungsi Pembangkit Momen Diskrit 

Definisi 2 
Jika  adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi
pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :

3.     Fungsi Pembangkit Momen Kontinu 
Definisi 3 
jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka fungsi 
pembangkit momen dari x didefinisikan sebagai:

Berikut ini akan dijelaskan dua cara dalam pembuktian bahwa fungsi pembangkit momen itu bisa 
menghasilkan momen – momen.

a.   Jika definisi 1, e^tX diuraikan dengan menggunakan perluasan deret MacLaurin, maka dapat diperoleh:

Jika M_x(t) diturumkan terhadap t, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

Demikian seterusnya, sehinga apabila  diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

 

Demikian seterusnya, sehinga apabila  diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

b.      Dalam hal ini, kita akan menurunkan terhadap t dari perumusan pada definisi 1

 

Demikian seterusnya, sehingga apabila M_x(t) diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

C.   PENURUNAN MOMEN DARI FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 
Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan M_x(t) adalh fungsi pembangkit 
momennya, maka :

 

Jika kita memperhatikna uraian diatas, maka syarat fungsi pembangkit momen akan menghasilkan momen–momen adalah –h < t < h dan  h > 0. Apa artinya? Coba kita subsitusikan beberapa nilai h ke dalam –h < t < h.

Maka kita dapat menyimpulkan bahwa nilai t itu harus mencakup 0 (nol). Akibatnya, apabila fungsipembangkit momen menghasilkan sebuah fungsi t dengan harga t-nya idak sama dengan nol, maka kita harus menentukan fungsi pembangkit momen yang berlaku untuk harga t sama dengan nol. 

Pemahaman penentuan fungsi pembangkit momen dari sebuah peubah acak, baik diskri maupun kontinu diperjelas melalui contoh berikut:

Contoh:

Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk:

 

a.  Tentukam fumgsi pembangkit momen dari X.

b.  Hitung µ^'_{1 dan} µ^'₂ berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen.

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka: