A.Pengertian Kombinasi
Pada beberapa peristiwa,urutan memegang
peranan penting,misalnya membuka pintu garasi dan memasukkan mobil,atau memakai
kaos kaki dan memakai sepatu.Urutan peristiwa ini sangat penting dan tidak
dapat dipertukarkan urutannya.Peristiwa semacam ini merupakan suatu permutasi.
Bentuk khusus dari permutasi adalah
kombinasi.Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan,maka pada
kombinasi urutan kemunculan diabaikan.Misalnya urutan abc, bca dan acb dianggap sama dan dihitung sekali.jadi,kita
bisa menyimpulkan bahwa kombinasi anggota
suatu himpunan adalah pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa
memperhatikan urutannya.
Dari suatu himpunan dengan n unsur
dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk k ≤ n Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan
unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan,
Bukti:
·
Dari n
objek dibuat susunan kombinasi k
objek sehingga sehingga terdapat
susunan yang berbeda.
·
Dari susunan kombinasi yang terdiri dari k objek itu dapat disusun menjadi k! Permutasi.
·
Dengan demikian,dari
akan diperoleh
k!
Permutasi.
·
Dari n
objek dengan pengambilan k objek akan
diperoleh
permutasi.
·
Sehingga diperoleh hubungan :
k!
=
|
=
|
Misalkan
r bilangan bulat taknegatif.kombinasi
r unsur dari sebuah himpunan S dengan n unsur kita memahaminya sebagai jumlah pemilihan yang tak berurut r unsur yang diambil dari n unsur di S.Dengan kata lain,kombinasi r
unsur dari sebuah himpunan S dengan n unsur,sama dengan menghitung
banyanknya himpunan bagian S yang terdiri dari r unsur yang dapat dibentuk
dari himpunan n unsur.Beberapa
himpunan bagian dengan unsurnya yang sama dianggap sebagai himpunan yang
sama,meskipun urutan unsur – unsurnya berbeda.Jika S={a,b,c,d}, maka {a,b,c}, {a,b,d},
{a,c,d}, {b,c,d} merupakan empat buah kombinasi dengan 3 unsur di S.
Banyaknya
kombinasi r unsur dari himpunan dengan n
unsur dinotasikan dengan C(n,r)
atau
.Perhatikan bahwa jika r > n,definisikan C(n,r) = 0.Jika n =
0 dan r bilangan bulat positif,maka C(0,r) = 0.Hal tersebut akan berakibat
bahwa C(0,0) =
= 1.Fakta berikutnya adalah untuk
bilangan bulat tak negatif n berlaku C(n,0) = 1,C(n,1) = n, dan C(n,n) = 1
Menghitung Banyaknya Kombinasi Yang
Mungkin Terjadi
Sebagai
contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang.
Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan
kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk
dari kumpulan buah tersebut adalah:
- tidak ada buah apa pun
- satu buah:
- apel
- jeruk
- mangga
- pisang
- dua buah:
- apel, jeruk
- apel, mangga
- apel, pisang
- jeruk, mangga
- jeruk, pisang
- mangga, pisang
- tiga buah:
- apel, jeruk, mangga
- apel, jeruk, pisang
- apel, mangga, pisang
- jeruk, mangga, pisang
- empat buah:
- apel, jeruk, mangga, pisang
Kombinasi r dari sebuah
himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r
untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan
{apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan
{jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.
Banyaknya kombinasi r
dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus
memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:
Fungsi
dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi
.
Sebagai contoh, tanpa harus
mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya
kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:
B. Jenis – jenis Kombinasi
1.
Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan
akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah
kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa
dipilih dan r adalah jumlah yang
harus dipilih.
Contoh:
Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan
warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin
membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada
berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan
rumus di atas maka diperoleh,
= 10 kombinasi.
Jadi,ada 10 kombinasi pensil yang dapat dibawa ke
sekolah
2.
Kombinasi pengulangan
Jika urutan tidak diperhatikan dan
objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
=
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa
dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Contoh:
jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko
donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat.
Maka kombinasi yang dihasilkan adalah
= 220
kombinasi.
Jadi,ada 220 kombinasi yang dapat dibeli di toko donat
tersebut.
C.
Menyelesaikan contoh soal Kombinasi
Contoh
1:
Suatu
tim bola basket terdiri dari 5 orang yang akan dipilih dari 12 pemain.Dengan
berapa macam cara susunan itu dapat dipilih?
Jawab:
Susunan
tersebut adalah kombinasi 5 objek dari 12 objek,sebab urutannya tidak
diperhatikan.
=
=
=
= 792
Jadi,banyaknya
cara susunan itu ada 792 cara.
Contoh 2 :
Seorang
petani memiliki 4 sapi, 3 kuda, dan 2 kambing dari sesorang yang memiliki 6
sapi, 7 kuda , dan 10 kambing.Berapa cara g dapat digunakan oleh petani itu
untuk memilih hewan tersebut?
Jawab:
Petani
dapat memilih sapi itu dengan
=
15
cara, kuda dengan
=
35
cara, dan kambing dengan
=
45 cara. Jadi dengan prinsip dasar pembilang , petani itu dapat memilih hewan
dengan 15 × 35 × 45 = 23625 cara.
Contoh 3 :
Sebuah
kantong berisi 6 kelereng putih dan 4 kelereng merah.Dari kantong itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak.Ada berapa
cara pengambilan,jika kelereng yang diambil adalah:
a.
Ketiganya berwarna putih?
b.
2 kelereng berwarna putih dan 1 kelereng
merah?
c.
Satu kelereng berwarna putih dan 2
kelereng merah?
d.
Ketiganya bebas warnanya?
Jawab:
a.
Banyaknya cara pengambilan 3 kelereng
putih adalah C(6 , 3)
C(6 , 3) =
=
==
=
20
Jadi, banyaknya cara
pengambilan adalah 20 cara.
b.
Banyaknya cara pengambilan 2 kelereng
putih adalah C(6,2) dan banyak cara pengambilan 1 kelereng merah adalah
C(4,1).Maka banyak cara pengambilan seluruhnya adalah C(6,2) × C(4,1)
C(6,2) =
=
==
=
15
C(4,1) =
=
=
=
4
C(6,2) × C(4,1) = 15 ×
4 = 60
Jadi,banyak cara
pengambilan adalah 60 cara.
c.
Banyak cara pengambilan 1 kelereng putih
adalah (6,1) dan banyaknya cara pengambilan 2 kelereng merah adalah C(4,2)
,maka cara pengambilan seluruhnya adalah sebanyak C(6,1) × C(4,2)
C(6,1)
=
=
==
=
6
C(4,2) =
=
==
=
6
C(6,1) × C(4,2) = 6 × 6
= 36
Jadi,banyaknya cara
pengambilan adalah 36 cara
d.
Banyaknya cara penambilan 3 dengan warna bebas adalah (10 ,
3)
C(10 , 3) =
=
==
=
120
Jadi,banyaknya cara
pengambilan ada 120 cara
BAB
III
KESIMPULAN
kombinasi anggota suatu himpunan adalah
pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan
urutannya.Adapun rumus umum dari kombinasi yaitu:
=
Ada dua jenis kombinasi yaitu:
1.
Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan
akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah
kombinasi yang ada adalah:
2.
Kombinasi pengulangan
Jika urutan tidak diperhatikan dan
objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
=
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa
dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
