FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

A. Momen

1. Momen

Jika X adlah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan μ’_k) didefinisikan sebagai:

μ’_k = E(X^k_­­­­­), k=1,2,3, ...

2. Momen Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k ( dinotasikan dengan μ’_k) didefinisikan sebagai:

Contoh:

Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X.

Hitung nilai μ’₃

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi momen diskrit, maka:

3. Momen Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen ke-k ( dinotasikan dengan μ’_k) didefinisikan sebagai :

Contoh :

Misalnya fungsi dnsitas dari X berbentuk:

Hitung μ’₃

Penyelesaian :

B.  Fungsi Pembangkit Momen

Pada bagian sebelumnya, kita membahas momen ke-k yang dinotasikan dengan μ’_k. Momen ini bisa juga diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan fungsi pembangkit momen. Sehingga fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen. Selain itu, penentuan distribusi baru dari peubah acak yang baru merupakan kegunaan lain fungsi pembangkit momen.

1. Fungsi pembangkit Momen

Definisi 1

Jika X adalah peubah acak , baik dari diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan (M_x(t)) didefinisikan sebagai:

M_x(t) = E(e^tX)

Untuk –h < t 0

2. Fungsi Pembangkit Momen Diskrit

Definisi 2

Jika  adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :

3. Fungsi Pembangkit Momen Kontinu

Definisi 3

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari x didefinisikan sebagai :

Berikut ini akan dijelaskan dua cara dalam pembuktian bahwa fungsi pembangkit momen itu bisa menghasilkan momen – momen.

1. Jika definisi 1, e^tX diuraikan dengan menggunakan perluasan deret MacLaurin, maka dapat diperoleh :

Jika M_x(t) diturumkan terhadap t, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

Demikian seterusnya, sehinga apabila M_x(t) diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

1. Dalam hal ini, kita akan menurunkan terhadap t dari perumusan pada definisi 1.

Demikian seterusnya, sehingga apabila M_x(t) diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

C. Penurunan Momen Dari Fungsi Pembangkit Momen

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan M_x(t) adalh fungsi pembangkit momennya, maka :

Jika kita memperhatikna uraian diatas, maka syarat fungsi pembangkit momen akan menghasilkan momen–momen adalah –h < t < h dan  h > 0. Apa artinya? Coba kita subsitusikan beberapa nilai h ke dalam –h < t < h.

Untuk h = ½, akan diperoleh -½ < t < ½  

Untuk t =1 ,akan diperoleh -1 < t <  1

Untuk t = 10, akan diperoleh -10 < t < 10
Untuk t = 25, akan diperoleh -25 < t < 25

Untuk t = 100, akan diperoleh -100 < t < 100

Untuk t=200, akan diperoleh -200 < t < 200

Maka kita dapat menyimpulkan bahwa nilai t itu harus mencakup 0 (nol). Akibatnya, apabila fungsi pembangkit momen menghasilkan sebuah fungsi t dengan harga t-nya tidak sama dengan nol, maka kita harus menentukan fungsi pembangkit momen yang berlaku untuk harga t sama dengan nol.

Pemahaman penentuan fungsi pembangkit momen dari sebuah peubah acak, baik diskri maupun kontinu diperjelas melalui contoh berikut:

Contoh:

Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk:

a. Tentukam fumgsi pembangkit momen dari X.

b. Hitung μ’₁ dan μ’₂ berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen.

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka: