KOMBINASI

A. Pengertian Kombinasi

Pada beberapa peristiwa, urutan memegang peranan penting, misalnya membuka pintu garasi dan memasukkan mobil, atau memakai kaos kaki dan memakai sepatu. Urutan peristiwa ini sangat penting dan tidak dapat dipertukarkan urutannya. Peristiwa semacam ini merupakan suatu permutasi.

Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan. Misalnya urutan abc, bca dan acb dianggap sama dan dihitung sekali. Jadi, kita bisa menyimpulkan bahwa kombinasi anggota suatu himpunan adalah pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutannya.

Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk k ≤ n Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan,

Bukti:

Misalkan r bilangan bulat taknegatif.kombinasi r unsur dari sebuah himpunan S dengan n unsur kita memahaminya sebagai jumlah pemilihan yang tak berurut r unsur yang diambil dari n unsur di S.Dengan kata lain,kombinasi r unsur dari sebuah himpunan S dengan n unsur,sama dengan menghitung banyanknya himpunan  bagian S yang terdiri dari r unsur yang dapat dibentuk  dari himpunan n unsur.Beberapa himpunan bagian dengan unsurnya yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama,meskipun urutan unsur – unsurnya berbeda.Jika S={a,b,c,d}, maka {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d} merupakan empat buah kombinasi dengan 3 unsur di S.

Perhatikan bahwa jika r > n,definisikan C(n,r) = 0.Jika  n = 0 dan r bilangan bulat positif,maka C(0,r) = 0.

Fakta berikutnya adalah untuk bilangan bulat tak negatif  n berlaku C(n,0) = 1,C(n,1) = n, dan C(n,n) = 1


Menghitung Banyaknya Kombinasi Yang Mungkin Terjadi

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

tidak ada buah apa pun

• satu buah:
• apel
• jeruk
• mangga
• pisang
• dua buah:
• apel, jeruk
• apel, mangga
• apel, pisang
• jeruk, mangga
• jeruk, pisang
• mangga, pisang
• tiga buah:
• apel, jeruk, mangga
• apel, jeruk, pisang
• apel, mangga, pisang
• jeruk, mangga, pisang
• empat buah:
• apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

B. Jenis – jenis Kombinasi

1. Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan  r adalah jumlah yang harus dipilih.

Contoh:

Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka diperoleh,

Jadi,ada 10 kombinasi pensil yang dapat dibawa ke sekolah

2. Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Contoh:

Jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah

Jadi,ada 220 kombinasi yang dapat dibeli di toko donat tersebut.

C. Menyelesaikan contoh soal Kombinasi

Contoh 1:

Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang yang akan dipilih dari 12 pemain.Dengan berapa macam cara susunan itu dapat dipilih?

Jawab:

Susunan tersebut adalah kombinasi 5 objek dari 12 objek,sebab urutannya tidak diperhatikan.

Jadi,banyaknya cara susunan itu ada 792 cara.

Contoh 2 :

Seorang petani memiliki 4 sapi, 3 kuda, dan 2 kambing dari sesorang yang memiliki 6 sapi, 7 kuda , dan 10 kambing.Berapa cara g dapat digunakan oleh petani itu untuk memilih hewan tersebut?

Jawab:
Petani dapat memilih sapi itu dengan

kuda dengan

kambing dengan

Jadi dengan prinsip dasar pembilang, petani itu dapat memilih hewan dengan 15 × 35 × 45 = 23625 cara.

Contoh 3 :

Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih dan 4 kelereng merah.Dari kantong itu diambil  3 kelereng sekaligus secara acak.Ada berapa cara pengambilan,jika kelereng yang diambil adalah:

a. Ketiganya berwarna putih?

b. 2 kelereng berwarna putih dan 1 kelereng merah?

c. Satu kelereng berwarna putih dan 2 kelereng merah?

d. Ketiganya bebas warnanya?

Jawab:

a. Banyaknya cara pengambilan 3 kelereng putih adalah C(6 , 3)

Jadi, banyaknya cara pengambilan adalah 20 cara.

b. Banyaknya cara pengambilan 2 kelereng putih adalah C(6,2) dan banyak cara pengambilan 1 kelereng merah adalah C(4,1).Maka banyak cara pengambilan seluruhnya adalah C(6,2) × C(4,1)

C(6,2) × C(4,1) = 15 × 4 = 60
Jadi,banyak cara pengambilan adalah 60 cara.

c. Banyak cara pengambilan 1 kelereng putih adalah (6,1) dan banyaknya cara pengambilan 2 kelereng merah adalah C(4,2) ,maka cara pengambilan seluruhnya adalah sebanyak C(6,1) × C(4,2)

C(6,1) × C(4,2) = 6 × 6 = 36

Jadi,banyaknya cara pengambilan adalah 36 cara

d. Banyaknya cara  penambilan 3 dengan warna bebas adalah (10 , 3)

Jadi,banyaknya cara pengambilan ada 120 cara