EKSPEKTASI MATEMATIKA
Pengertian dan jenis-jenis Ekspektasi matematika.
Misalkan x suatu peubah acak dengan ruangnya
dan f . k punya f (x ). Ini berarti
bahwa harga-harga x di
terdistribusi yang dinyatakan oleh f (x ).
Konsep ekspektasi matematika dalam teori peluang adalah serupa dengan konsep
pusat massa dari suatu benda yang memiliki rapat massa f (x ). Konsep ini
dirumuskan sebagai berikut .
Definisi : Misalkan
(x) suatu fungsi dari x . besaran
(jika ada), dinamakan ekspektasi matematika atau nilai
harapan dari μ(x).
Pada defenisi perlu anda pehatikan baik-baik bahwa μ(x) adalah fungsi dari x. disebut saja y = μ(x)
. Maka y memiliki f,k,p tersendiri dan ruangnya tersendiri . Misalnya f.k.p. nya
g(y) dan ruangnya y
maka:
1. Jika k1 . k2……km konstanta - konstanta dan P1.P2…….Pm
fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :
E [ k1 .v1 + k2.v2+ ……+ km.
vm ] = k1 E {v1} + k2 E [V2]
+ …….+ km E [ Vm]
Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan
ekspektasi matematika. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah
acak distribisi diskrit dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.
Contoh 1:
Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :
Carilah : E (X) , E (x 2)dan E ( 6x + 3x 2).
Penyelesaian :
Oleh karena itu
Dan
Konsep ekspektasi matematik dapat dikembangkan pada beberapa
peubah acak sekaligus .misalkan f(X1.X 2……… Xn). F.k.p
bersama dari X1 .X2……Xn. Besaran (jika ada):
Dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari :
u (x1 . x2 ….xn )
Pengamatan terhadap definisi di atas menunjukkan bahwa ekspektasi matematik, yang
diberi lambing E, adalah suatu operator
linier. Artinya E bersifat :
(i). E (k) = k untuk setiap konstanta k
(ii). Jika k suatu konstanta dan v suatu
fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka ;
E [ kv ] = k E (v)
2. Jika k1,k2,…km
konstanta-konstanta dan v1.v2….vm
fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :
E [ k1 v1 + k2 v2
+ …+ km vm = k1
E[v1] + k2 E [v2]+……+km E[vm]
Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan
ekspektasi matematik. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh
kedua dan ketiga tentang satu peubah acak diskrit , dan contoh keempat tentang
dua peubah acak kontinu.
Contoh 2 :
Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :
Carilah E(X), E(X2) dan EK(6X + 3X2)
Penyelesaian
Contoh 3:
Misalkan X memiliki f. k.p sebagai berikut:
Carilah E(x) dan E(x3)
Penyelesaian:
Contoh 4:
Sebuah kotak berisi 5
bola, 3 bola merah dan 2 bola putih. Si Budi mengambil 2 bola putih. Si
Budi mengambil 2 bola sekaligus secara
acak dari kotak itu.
Untuk setiap bola merah yang mengambil, dia memperoleh
hadiah Rp 1000 sedangkan untuk setiap b
ola putih yang terambil. Dia mendapat Rp 4000. Berapakah
jumlah hadiah yang diharapkan Budi?
Penyelesaian:
Kita tuliskan x peubah acak yang menyatakan jumlah hadiah
yang diperoleh akan dicari E(X).
X
adalah peubah acak diskrit dan ruangnya adalah
Maka:
Sekarang kita peroleh:
Jadi jumlah hadiah yang diharapkan adalah Rp 4400
Contoh 5
f.k.p. bersama dari x dan y adalah,
Carilah E(x) dan E(xy2)
Penyelesaian:
Catatan:
Perhatikan baik-baik bahwa:
Pada contoh 2,
Pada contoh 3,
Fenomena ini memperlihatkan bahwa pada umumnya
belum tentu sama dengan
Dalam praktek, ada beberapa jenis ekspentansi matematika yang sering digunakan. Empat jenis
diantaranya akan dibahas di sini, yakni: mean, variasi, fungsi pembangkit momen dan fungsi
karakteristik.
Untuk itu misalkan peubah acak x memiliki f,k,p f(x).
1).Mean dari x
Besaran 
Dalam kalkulus,
formulasi ini menyatakan pusat massa benda yang memiliki rapat massa f(x). Jadi μ dapat
diartikan sebagai titik disekitar mana harga-harga terkonsentrasi.
2).
Variansi dari x
Besaran α2 = [(x – μ)]
dinamakan variansi dari x sedangkan α (akar positif dari variansi) dinamakan deviasi
standar dari x. Khususx dalam hhal x kontinu, α2 dapat ditulis sebagai berikut:
Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan momen inersia benda
yang mempunyai rapat masa f(x), di sekitar μ. Jadi α2 dapat diartikan sebagai ukuran penyebaran harga-harga x disekitar titik μ. Pada teorema berikut ditemukan cara menghitung α2 yang lebih sederhana.
Teorema 1:
Variasi α2 dari
x dapat ditulis sebagai berikut:
α2 = E(x2)
– μ
Bukti :
Catatan :
Khususnya apabila ruang cari x hanya terdiri atas 1 buah titik, maka α2 =0
Contoh 6:
Misalkan peubah acak x mempunyai f.k.p sebagai berikut:
Hitunglah mean,variansi dan deviasi standar dari x.
Penyelesaian:
a). Mean dari x,
adalah:
jadi, variansi dari x adalah,
c).deviasi standar dari x adalah
Mean dan variansi, tidak dijamin selalu ada. Hal ini akan
tergantung kepada f.k.p.nya. Umpamanya seperti pada contoh berikut:
Contoh 7:
Misalkan peubah acak x memiliki f.k.p sssebagai berikut:
Carilah mean dan variansi dari x
Penyelesaian:
Mean dari x adalah:
Jadi, μ tidak ada
Karena μ tidak ada,
maka a2 pun tidak ada.
Penyelesaian:
Mean dari
x, adalah:
Jadi μ tidak ada, maka a2 pun tidak
ada.
Asalkan h suatu bilangan riil positif sehingga, harga E [etx] untuk setiap t di (-h,h). Fungsi m(t) = E [etx];-h
Salah satu sifat yang penting dari f,p,m. m(t) adalah bahwa
m(t) unik untuk setiap f,k,p. Demikianpula sebaliknya, terdapat korespondensi
1-1 antara f,p,m dan f,k,p. Buki dari sifat ini dapat anda temukan dalam mata
kuliah analisis. Khusus untuk kasus x diskrit, sifat tersebut dapat dijelaskan
melalui contoh berikut:
Contoh 8:
Misalkan sebuah acak x memiliki f,p,m. sebagai berikut:
Tentekan f,p,m dari x memiliki bentuk:
Jadi x dikstrit. Oleh karena itu, kita tuliskan
sekarang perhatikan persamaan berikut.
Kesamaan ini berlaku untuk setiap t. sedangkan xixj
bila i.j akibatnya ruas kanan haruslah
terdiri atas 4 suku yang tidak nol. Misalkan ruas kanan tersebut adalah:
Jadi dapat kita ambil
Dengan demikian f,k,p dari x adalah:
Catatan: Berdasarkan uraian dan contoh di atas, maka:
