EKSPEKTASI MATEMATIKA

EKSPEKTASI MATEMATIKA

Statistika Iwan Ridwan   November 29, 2019

Pengertian dan jenis-jenis Ekspektasi matematika.

Misalkan x suatu peubah acak dengan ruangnya  dan f . k punya f (x ). Ini berarti bahwa harga-harga x di  terdistribusi yang dinyatakan oleh f (x ). Konsep ekspektasi matematika dalam teori peluang adalah serupa dengan konsep pusat massa dari suatu benda yang memiliki rapat massa f (x ). Konsep ini dirumuskan sebagai berikut .

Definisi : Misalkan  (x) suatu fungsi dari x . besaran

(jika ada), dinamakan ekspektasi matematika atau nilai harapan dari μ(x).

Pada defenisi perlu anda pehatikan baik-baik bahwa μ(x)  adalah fungsi dari x. disebut saja y = μ(x) . Maka y memiliki f,k,p tersendiri dan ruangnya tersendiri . Misalnya f.k.p. nya g(y) dan ruangnya y  maka: 

1. Jika k₁ . k₂……k_m  konstanta - konstanta dan P₁.P₂…….P_m fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :

E [ k1 .v1 + k₂.v₂+ ……+ k_m. v_m ] = k₁ E {v₁} + k₂ E [V₂] + …….+ k_m E [ V_m]

Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan ekspektasi matematika. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu.  Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah acak distribisi diskrit dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.

Contoh 1:

Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah : E (X) , E (x ²)dan E ( 6x + 3x ²).

Penyelesaian :

Oleh karena itu

Dan

Konsep ekspektasi matematik dapat dikembangkan pada beberapa peubah acak sekaligus .misalkan f(X₁.X ₂……… Xn). F.k.p bersama dari X₁ .X₂……Xn. Besaran (jika ada):

Dinamakan ekspektasi matematik  atau nilai harapan dari :

u (x₁ . x₂ ….x_n )

Pengamatan terhadap definisi di atas  menunjukkan bahwa ekspektasi matematik, yang diberi  lambing E, adalah suatu operator linier. Artinya E bersifat :

(i). E (k) = k untuk setiap konstanta k

(ii). Jika k suatu konstanta dan v suatu fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka ;

E  [ kv ]   = k E (v)

2. Jika k₁,k₂,…k_m konstanta-konstanta dan v₁.v₂….v_m fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :

E [ k₁ v₁ + k₂ v₂ + …+ k_m v_m  = k₁ E[v₁] + k₂ E [v₂]+……+k_m E[v_m]

Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan ekspektasi matematik. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah acak diskrit , dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.

Contoh 2 :

Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah E(X), E(X²) dan EK(6X + 3X²)

Penyelesaian

Contoh 3:

Misalkan X memiliki f. k.p sebagai berikut:

Carilah E(x) dan E(x³)

Penyelesaian:

Contoh 4:

Sebuah kotak  berisi 5 bola, 3 bola merah dan 2 bola putih. Si Budi mengambil 2 bola putih. Si Budi  mengambil 2 bola sekaligus secara acak dari kotak itu.

Untuk setiap bola merah yang mengambil, dia memperoleh hadiah Rp 1000 sedangkan untuk setiap b ola putih yang terambil. Dia mendapat Rp 4000. Berapakah jumlah hadiah yang diharapkan Budi?

Penyelesaian:

Kita tuliskan x peubah acak yang menyatakan jumlah hadiah yang diperoleh akan dicari E(X).

X adalah peubah acak diskrit dan ruangnya adalah

Maka:

Sekarang kita peroleh:

Jadi jumlah hadiah yang diharapkan adalah Rp 4400

Contoh 5

f.k.p. bersama dari x dan y adalah,

Carilah E(x) dan E(xy²)

Penyelesaian:

Catatan:

Perhatikan baik-baik bahwa:

Pada contoh 2,

Pada contoh 3,

Fenomena ini memperlihatkan bahwa pada umumnya belum tentu sama dengan

Dalam praktek, ada beberapa jenis ekspentansi matematika yang sering digunakan. Empat jenis diantaranya akan dibahas di sini, yakni: mean, variasi, fungsi pembangkit momen dan fungsi karakteristik.

Untuk itu misalkan peubah acak x memiliki f,k,p f(x).

1).Mean dari x

Besaran  dinamakan mean dari x. Telah diutarakan di depan bahwa pengertian ekspektasi matematik serupa dengan pengertian pusat masa. Khususnya dalam hal x kontinu, mean μ dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan pusat massa benda yang memiliki rapat massa f(x). Jadi μ dapat diartikan sebagai titik disekitar mana harga-harga terkonsentrasi.

2). Variansi dari x

Besaran α² = [(x – μ)] dinamakan variansi dari x sedangkan α (akar positif dari variansi) dinamakan deviasi standar dari x. Khususx dalam hhal x kontinu, α² dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan momen inersia benda yang mempunyai rapat masa f(x), di sekitar μ. Jadi α² dapat diartikan sebagai ukuran penyebaran harga-harga x disekitar titik μ. Pada teorema berikut ditemukan cara menghitung α² yang lebih sederhana.

Teorema 1:

Variasi α² dari x dapat ditulis sebagai berikut:

α² = E(x²) – μ

Bukti :

Catatan :

Khususnya apabila ruang cari x hanya terdiri atas 1 buah titik, maka α² =0

Contoh 6:

Misalkan peubah acak x mempunyai f.k.p sebagai berikut:

Hitunglah mean,variansi dan deviasi standar dari x.

Penyelesaian:

a). Mean dari x, adalah:

jadi, variansi dari x adalah,

c).deviasi standar dari x adalah

Mean dan variansi, tidak dijamin selalu ada. Hal ini akan tergantung kepada f.k.p.nya. Umpamanya seperti pada contoh berikut:

Contoh 7:

Misalkan peubah acak x memiliki f.k.p sssebagai berikut:

Carilah mean dan variansi dari x

Penyelesaian:

Mean dari x adalah:

Jadi, μ tidak ada

Karena μ tidak ada, maka a² pun tidak ada.

Penyelesaian:

Mean dari x, adalah:

Jadi μ tidak ada, maka a² pun tidak ada.

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Asalkan h suatu bilangan riil positif sehingga, harga E [e^tx] untuk setiap t di (-h,h). Fungsi m(t) = E [e^tx];-h dinamakan fungsi pembangkit momen (f,p,m) dari x. Nama ini dipakai, mengingat bahwa fungsi m(t) jika ada, dapat menentukan momen-momen dari x secara langsung.

Salah satu sifat yang penting dari f,p,m. m(t) adalah bahwa m(t) unik untuk setiap f,k,p. Demikianpula sebaliknya, terdapat korespondensi 1-1 antara f,p,m dan f,k,p. Buki dari sifat ini dapat anda temukan dalam mata kuliah analisis. Khusus untuk kasus x diskrit, sifat tersebut dapat dijelaskan melalui contoh berikut:

Contoh 8:

Misalkan sebuah acak x memiliki f,p,m. sebagai berikut:

Tentekan f,p,m dari x memiliki bentuk:

Jadi x dikstrit. Oleh karena itu, kita tuliskan

sekarang perhatikan persamaan berikut.

Kesamaan ini berlaku untuk setiap t. sedangkan x_ix_j bila i.j akibatnya ruas kanan haruslah terdiri atas 4 suku yang tidak nol. Misalkan ruas kanan tersebut adalah:

Jadi dapat kita ambil

Dengan demikian f,k,p dari x adalah:

Catatan: Berdasarkan uraian dan contoh di atas, maka:

PELUANG KEJADIAN BERSYARAT

PELUANG KEJADIAN BERSYARAT

Statistika Iwan Ridwan   November 04, 2019

Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dengan syarat B adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh persyaratan kejadian B telah muncul. Kejadian munculnya A dengan syarat B ditulis A|B. Demikian juga sebaliknya, kejadian B dengan syarat A, ditulis B|A adalah kejadian munculnya B dengan syarat kejadian A telah muncul.

Adapun peluang kejadian bersyarat dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah

2. Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah

Contoh:

Misalkan ada dua dadu dilempar secara bersama-sama. Jika jumlah angka yang muncul dalam kedua dadu adalah 6, tentukan peluangnya bahwa salah satu dadu muncul angka 2.

Penyelesaian:

Misalkan A adalah kejadian jumlah angka yang muncul dalam kedua dadu adalah 6 dan B adalah kejadian salah satu dadu muncul angka 2. Maka, anggota-anggota A, B dan A  B adalah sebagai berikut:

A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}

A ∩ B = {(2,4), (4,2)}

Sedangkan untuk ruang sampelnya yaitu S sebagai berikut:

Jadi,  

n(S) = 36

n(A) = 5

n(B) = 11

n(A ∩ B) = 2

P (A ∩ B) = 2/36

P(A) = 5/36

Berarti, 

a. Kejadian Bebas

Peluang bersyarat dapat mengubah peluang suatu kejadian karena adanya keterangan tambahan yang biasa disebut kejadian bebas. Dalam hal ini, terjadinya A atau B tidak mempengaruhi terjadinya B atau A, atau terjadinya A bebas dari terjadinya B atau terjadinya B bebas dari terjadinya A.

Sehingga, dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika:

P(B|A) = P(B)

dan

P(A|B) = P(A)

Contoh:

Suatu percobaan yang menyangkut pengambilan kartu berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian ditentukan sebagai:

A : kartu pertama yang terambil as,

B : kartu kedua sebuah skop

Penyelesaian:

Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri atas 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop.

n(S) = 52

n(A) = 4

n(B) = 13

Maka, 

b. Aturan Perkalian

Misalkan terdapat sembarang bilangan a,b dan c dengan c  0. Kita masih ingat jika a = b/c, berlaku b = a x c. Di samping itu, di dalam operasi irisan dua himpunan A dan B berlaku A ∩ B = B ∩ A. Dengan demikian, rumus peluang kejadian bersyarat di atas dapat ditulis sebagai berikut:

dengan P(B) > 0 maka P (A ∩ B) = P(B) x P(A|B)

dengan P(A) > 0 dan B ∩ A = A ∩ B maka P(A B) = P(A) x P(B|A)

Aturan tersebut dikenal dengan aturan perkalian untuk kejadian bersyarat. Secara lebih lengkap aturan itu berbunyi sebagai berikut:

Jika kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian bersyarat, peluang terjadinya A dan B adalah:

P(A∩B) = P(B) x P(A|B)

P(A∩B) = P(A) x P(B|A)

Misalkan kejadian A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, artinya terjadi atau tidaknya kejadian A tidak bergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B dan sebaliknya, berlaku P(A|B) = P(A) dan P(B|A) = P(B). Jadi, untuk dua kejadian saling bebas stokastik, aturan perkalian di atas berubah menjadi berikut ini:

Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, berlaku

P(B∩A) = P(B) x P(A|B) = P(B) x P(A)

P(A∩B) = P(A) x P(B|A) = P(A) x P(B)

Contoh:

Misalkanlah kita mempunyai kotak berisi 20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak), berapakah peluang kedua sekering itu cacat?

Penyelesaian:

Misalkan,

A = kejadian bahwa sekering pertama cacat = 5

B = kejadian bahwa sekering kedua cacat = 4

A ∩ B = kejadian kedua sekering itu cacat (bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi)

Maka,

P(A) = 5/20 = 1/4

P(B) = 4/19

Sehingga,

P (A∩B) = (1/4)х(4/19) = 1/19

Peluang Kejadian Marginal

Misalkan A₁, A₂ dan A₃ adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. Berikut ini menunjukkan kejadian-kejadian tersebut dalam S.

Pada gambar tersebut tampak bahwa kejadian B dapat dinyatakan sebagai:

B=(B∩A₁) U (B∩A₂) U (B∩A₃)

Akan tetapi, kejadian (B∩A₁), (B∩A₂) dan (B∩A₃) adalah saling lepas, sehingga peluang kejadian B menjadi:

P(B) = P(B∩A₁) + P(B∩A₂) + P(B∩A₃)

Sedangkan,

P(B∩A₁) = P(B|A₁) . P(A₁),

P(B∩A₂) = P(B|A₂) . P(A₂), dan

P(B∩A₃) = P(B|A₃). P(A₃)

sehingga P(B) menjadi sebagai berikut:

Dari rumus tersebut kita dapat menentukan peluang kejadian bersyarat A₁|B, A₂|B dan A₃|B yaitu:

Secara umum, bila A₁, A₂, A₃, ........, A_n kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka peluang kejadian bersyarat A_i | B dirumuskan sebagai berikut:

Rumus ini disebut rumus Bayes.

Contoh:

Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup, Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kota 1, kotak 2 dan kotak 3?

Penyelesaian:

Misalkan,

A₁ = kejadian terambilnya kotak 1

A₂ = kejadian terambilnya kotak 2

A₃ = kejadian terambilnya kotak 3

B  = kejadian terambilnya bola merah

Yang ditanya: P(A₁|B), P(A₂|B), P(A₃|B)

Karena pengambilan secara acak, maka P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3

Peluang terambilnya bola merah dari kotak 1 adalah P(B|A₁) = 1, selain kotak 1 hanya berisi 2 bola merah. Peluang terambilnya bola merah dari kotak 2 adalah P(B|A₂) = ½ , sebab hanya ada 1 bola merah dari 2 bola yang ada.

Peluang terambilnya bola merah dari kotak 3 adalah P(B|A₃) = 0, sebab kotak 3 tidak berisi bola merah. Maka diperoleh:

Jadi,