EKSPEKTASI MATEMATIKA

Pengertian dan jenis-jenis Ekspektasi matematika.

Misalkan x suatu peubah acak dengan ruangnya dan f . k punya f (x ). Ini berarti bahwa harga-harga x di terdistribusi yang dinyatakan oleh f (x ). Konsep ekspektasi matematika dalam teori peluang adalah serupa dengan konsep pusat massa dari suatu benda yang memiliki rapat massa f (x ). Konsep ini dirumuskan sebagai berikut .

Definisi : Misalkan (x) suatu fungsi dari x . besaran

(jika ada), dinamakan ekspektasi matematika atau nilai harapan dari μ(x).

Pada defenisi perlu anda pehatikan baik-baik bahwa μ(x) adalah fungsi dari x. disebut saja y = μ(x) . Maka y memiliki f,k,p tersendiri dan ruangnya tersendiri . Misalnya f.k.p. nya g(y) dan ruangnya y maka:

1. Jika k₁ . k₂……k_m konstanta - konstanta dan P₁.P₂…….P_m fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :

E [ k1 .v1 + k₂.v₂+ ……+ k_m. v_m ] = k₁ E {v₁} + k₂ E [V₂] + …….+ k_m E [ V_m]

Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan ekspektasi matematika. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah acak distribisi diskrit dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.

Contoh 1:

Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah : E (X) , E (x²)dan E ( 6x + 3x²).

Penyelesaian :

Oleh karena itu

Dan

Konsep ekspektasi matematik dapat dikembangkan pada beberapa peubah acak sekaligus .misalkan f(X₁.X ₂……… Xn). F.k.p bersama dari X₁ .X₂……Xn. Besaran (jika ada):

Dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari :

u (x₁ . x₂ ….x_n )

Pengamatan terhadap definisi di atas menunjukkan bahwa ekspektasi matematik, yang diberi lambing E, adalah suatu operator linier. Artinya E bersifat :

(i). E (k) = k untuk setiap konstanta k

(ii). Jika k suatu konstanta dan v suatu fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka ;

E [ kv ] = k E (v)

2. Jika k₁,k₂,…k_m konstanta-konstanta dan v₁.v₂….v_m fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :

E [ k₁ v₁ + k₂ v₂ + …+ k_m v_m = k₁ E[v₁] + k₂ E [v₂]+……+k_m E[v_m]

Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan ekspektasi matematik. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah acak diskrit , dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.

Contoh 2 :

Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah E(X), E(X²) dan EK(6X + 3X²)

Penyelesaian

Contoh 3:

Misalkan X memiliki f. k.p sebagai berikut:

Carilah E(x) dan E(x³)

Penyelesaian:

Contoh 4:

Sebuah kotak berisi 5 bola, 3 bola merah dan 2 bola putih. Si Budi mengambil 2 bola putih. Si Budi mengambil 2 bola sekaligus secara acak dari kotak itu.

Untuk setiap bola merah yang mengambil, dia memperoleh hadiah Rp 1000 sedangkan untuk setiap b ola putih yang terambil. Dia mendapat Rp 4000. Berapakah jumlah hadiah yang diharapkan Budi?

Penyelesaian:

Kita tuliskan x peubah acak yang menyatakan jumlah hadiah yang diperoleh akan dicari E(X).

X adalah peubah acak diskrit dan ruangnya adalah

Maka:

Sekarang kita peroleh:

Jadi jumlah hadiah yang diharapkan adalah Rp 4400

Contoh 5

f.k.p. bersama dari x dan y adalah,

Carilah E(x) dan E(xy²)

Penyelesaian:

Catatan:

Perhatikan baik-baik bahwa:

Pada contoh 2,

Pada contoh 3,

Fenomena ini memperlihatkan bahwa pada umumnya belum tentu sama dengan

Dalam praktek, ada beberapa jenis ekspentansi matematika yang sering digunakan. Empat jenis diantaranya akan dibahas di sini, yakni: mean, variasi, fungsi pembangkit momen dan fungsi karakteristik.

Untuk itu misalkan peubah acak x memiliki f,k,p f(x).

1).Mean dari x

Besaran dinamakan mean dari x. Telah diutarakan di depan bahwa pengertian ekspektasi matematik serupa dengan pengertian pusat masa. Khususnya dalam hal x kontinu, mean μ dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan pusat massa benda yang memiliki rapat massa f(x). Jadi μ dapat diartikan sebagai titik disekitar mana harga-harga terkonsentrasi.

2). Variansi dari x

Besaran α²= [(x – μ)] dinamakan variansi dari x sedangkan α (akar positif dari variansi) dinamakan deviasi standar dari x. Khususx dalam hhal x kontinu, α² dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan momen inersia benda yang mempunyai rapat masa f(x), di sekitar μ. Jadi α² dapat diartikan sebagai ukuran penyebaran harga-harga x disekitar titik μ. Pada teorema berikut ditemukan cara menghitung α² yang lebih sederhana.

Teorema 1:

Variasi α² dari x dapat ditulis sebagai berikut:

α²= E(x²) – μ

Bukti :

Catatan :

Khususnya apabila ruang cari x hanya terdiri atas 1 buah titik, maka α² =0

Contoh 6:

Misalkan peubah acak x mempunyai f.k.p sebagai berikut:

Hitunglah mean,variansi dan deviasi standar dari x.

Penyelesaian:

a). Mean dari x, adalah:

jadi, variansi dari x adalah,

c).deviasi standar dari x adalah

Mean dan variansi, tidak dijamin selalu ada. Hal ini akan tergantung kepada f.k.p.nya. Umpamanya seperti pada contoh berikut:

Contoh 7:

Misalkan peubah acak x memiliki f.k.p sssebagai berikut:

Carilah mean dan variansi dari x

Penyelesaian:

Mean dari x adalah:

Jadi, μ tidak ada

Karena μ tidak ada, maka a² pun tidak ada.

Penyelesaian:

Mean dari x, adalah:

Jadi μ tidak ada, maka a²pun tidak ada.

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Asalkan h suatu bilangan riil positif sehingga, harga E [e^tx] untuk setiap t di (-h,h). Fungsi m(t) = E [e^tx];-h dinamakan fungsi pembangkit momen (f,p,m) dari x. Nama ini dipakai, mengingat bahwa fungsi m(t) jika ada, dapat menentukan momen-momen dari x secara langsung.

Salah satu sifat yang penting dari f,p,m. m(t) adalah bahwa m(t) unik untuk setiap f,k,p. Demikianpula sebaliknya, terdapat korespondensi 1-1 antara f,p,m dan f,k,p. Buki dari sifat ini dapat anda temukan dalam mata kuliah analisis. Khusus untuk kasus x diskrit, sifat tersebut dapat dijelaskan melalui contoh berikut:

Contoh 8:

Misalkan sebuah acak x memiliki f,p,m. sebagai berikut:

Tentekan f,p,m dari x memiliki bentuk:

Jadi x dikstrit. Oleh karena itu, kita tuliskan

sekarang perhatikan persamaan berikut.

Kesamaan ini berlaku untuk setiap t. sedangkan x_ix_j bila i.j akibatnya ruas kanan haruslah terdiri atas 4 suku yang tidak nol. Misalkan ruas kanan tersebut adalah: