PELUANG KEJADIAN BERSYARAT
Misalkan A dan B adalah dua kejadian
dalam ruang sampel S. Kejadian A dengan
syarat B adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh persyaratan
kejadian B telah muncul. Kejadian munculnya A dengan syarat B ditulis A|B.
Demikian juga sebaliknya, kejadian B
dengan syarat A, ditulis B|A adalah kejadian munculnya B dengan syarat
kejadian A telah muncul.
Adapun peluang kejadian bersyarat dapat
dirumuskan sebagai berikut:
1. Peluang munculnya kejadian A dengan
syarat kejadian B telah muncul adalah
2. Peluang munculnya kejadian B dengan
syarat kejadian A telah muncul adalah
Contoh:
Misalkan ada dua dadu dilempar secara
bersama-sama. Jika jumlah angka yang muncul dalam kedua dadu adalah 6, tentukan
peluangnya bahwa salah satu dadu muncul angka 2.
Penyelesaian:
Misalkan A adalah kejadian jumlah angka
yang muncul dalam kedua dadu adalah 6 dan B adalah kejadian salah satu dadu
muncul angka 2. Maka, anggota-anggota A, B dan A
B adalah sebagai berikut:
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),
(2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}
A ∩ B = {(2,4), (4,2)}
Sedangkan untuk ruang sampelnya yaitu S
sebagai berikut:
Jadi,
n(S) = 36
n(A) = 5
n(B) = 11
n(A ∩ B) = 2
P (A ∩ B) = 2/36
P(A) = 5/36
Berarti,
a. Kejadian Bebas
Peluang bersyarat dapat mengubah
peluang suatu kejadian karena adanya keterangan tambahan yang biasa disebut
kejadian bebas. Dalam hal ini, terjadinya A atau B tidak mempengaruhi
terjadinya B atau A, atau terjadinya A bebas
dari terjadinya B atau terjadinya B bebas
dari terjadinya A.
Sehingga, dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika:
P(B|A) = P(B)
dan
P(A|B) = P(A)
Contoh:
Suatu percobaan yang menyangkut
pengambilan kartu berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian
ditentukan sebagai:
A : kartu pertama yang terambil as,
B : kartu kedua sebuah skop
Penyelesaian:
Karena kartu pertama dikembalikan,
ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri atas 52 kartu, berisi 4 as dan 13
skop.
n(S) = 52
n(A) = 4
n(B) = 13
Maka,
b.
Aturan Perkalian
Misalkan terdapat sembarang bilangan a,b dan c dengan c
0. Kita masih ingat jika a = b/c, berlaku b =
a x c. Di samping itu, di dalam operasi irisan dua himpunan A dan B berlaku A ∩
B = B ∩ A. Dengan demikian, rumus peluang kejadian bersyarat di atas dapat
ditulis sebagai berikut:
dengan P(B) > 0 maka P (A ∩ B) =
P(B) x P(A|B)
dengan P(A) > 0 dan B ∩ A = A ∩ B
maka P(A
B)
= P(A) x P(B|A)
Aturan tersebut dikenal dengan aturan perkalian untuk kejadian bersyarat. Secara
lebih lengkap aturan itu berbunyi sebagai berikut:
Jika kejadian A dan kejadian B adalah
dua kejadian bersyarat, peluang terjadinya A dan B adalah:
P(A∩B) = P(B) x P(A|B)
P(A∩B)
= P(A) x P(B|A)
Misalkan kejadian A dan B dua kejadian
yang saling bebas stokastik, artinya terjadi atau tidaknya kejadian A tidak
bergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B dan sebaliknya, berlaku P(A|B)
= P(A) dan P(B|A) = P(B). Jadi, untuk dua kejadian saling bebas stokastik,
aturan perkalian di atas berubah menjadi berikut ini:
Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, berlaku
P(B∩A) = P(B) x P(A|B) =
P(B) x P(A)
P(A∩B) = P(A) x P(B|A) =
P(A) x P(B)
Contoh:
Misalkanlah kita mempunyai kotak berisi
20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak
satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak),
berapakah peluang kedua sekering itu cacat?
Penyelesaian:
Misalkan,
A = kejadian bahwa sekering pertama
cacat = 5
B = kejadian bahwa sekering kedua cacat
= 4
A ∩ B = kejadian kedua sekering itu
cacat (bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi)
Maka,
P(A) = 5/20 = 1/4
P(B) = 4/19
Sehingga,
P (A∩B) = (1/4)х(4/19) = 1/19
Peluang
Kejadian Marginal
Misalkan A1, A2 dan A3 adalah tiga
kejadian saling lepas dalam ruang
sampel S dan B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. Berikut ini
menunjukkan kejadian-kejadian tersebut dalam S.
Pada gambar tersebut tampak bahwa
kejadian B dapat dinyatakan sebagai:
B=(B∩A1) U (B∩A2) U (B∩A3)
Akan tetapi, kejadian (B∩A1), (B∩A2)
dan (B∩A3) adalah saling
lepas, sehingga peluang kejadian B menjadi:
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2)
+ P(B∩A3)
Sedangkan,
P(B∩A1) = P(B|A1) . P(A1),
P(B∩A2) = P(B|A2) . P(A2), dan
P(B∩A3)
= P(B|A3). P(A3)
sehingga P(B) menjadi sebagai berikut:
Dari rumus tersebut kita dapat
menentukan peluang kejadian bersyarat A1|B, A2|B dan A3|B
yaitu:
Secara
umum, bila A1, A2, A3, ........, An
kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang
dalam S, maka peluang kejadian bersyarat Ai | B dirumuskan sebagai
berikut:
Rumus ini disebut rumus Bayes.
Contoh:
Misalkan ada tiga kotak masing-masing
berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1
bola putih dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup, Anda diminta
mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari
kotak yang terambil itu. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata
berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kota 1, kotak
2 dan kotak 3?
Penyelesaian:
Misalkan,
A1 = kejadian terambilnya kotak 1
A2 = kejadian terambilnya kotak 2
A3 = kejadian terambilnya kotak 3
B = kejadian
terambilnya bola merah
Yang ditanya: P(A1|B), P(A2|B), P(A3|B)
Karena pengambilan secara acak, maka P(A1) = P(A2)
= P(A3) = 1/3
Peluang terambilnya bola merah dari kotak 1 adalah P(B|A1)
= 1, selain kotak 1 hanya berisi 2 bola merah. Peluang terambilnya bola merah
dari kotak 2 adalah P(B|A2) = ½ , sebab hanya ada 1 bola merah dari
2 bola yang ada.
Peluang terambilnya bola merah dari kotak 3 adalah P(B|A3)
= 0, sebab kotak 3 tidak berisi bola merah. Maka diperoleh:
Jadi,
