Luas Permukaan dan Volume Kerucut

A.     Unsur-unsur Kerucut

Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Unsur-unsur kerucut sebagai berikut.

a.     Bidang Alas

b.     Selimut Kerucut

c.     Tinggi Kerucut

d.     Diameter Alas Kerucut

e.     Jari-jari Alas Kerucut

f.     Garis Pelukis

B.     Jaring-jaring Kerucut

                       

C.     Luas Permukaan Kerucut

Luas permukaan kerucut dapat dicari dengan cara mencari luas masing-masing bagian kerucut kemudian dijumlahkan. Sebelum mencari luas permukaan kerucut yang pertama yang harus kita cari terlebih dahulu adalah mencari rumus luas selimut kerucut. Perhatikan gambar jaring-jaring kerucut di atas. Panjang busur pada juring sama dengan keliling lingkaran alas kerucut. Untuk mencari luas selimut kerucut, bandingkan luas juring dengan luas lingkaran yang berpusat di titik C yang jari-jarinya sama panjang dengan garis pelukis kerucut yaitu s sehingga diperoleh:

Jadi luas selimut kerucut adalah:

Jadi, luas selimut kerucut adalah

Setelah mengetahui rumus selimut kerucut selanjutnya kita mencari rumus luas permukaan kerucut. Luas permukaan kerucut dapat kita cari dengan menjumlahkan luas bagian-bagian kerucut yaitu luas alas kerucut yang berbentuk lingkaran dengan  luas selimut kerucut sehingga diperoleh:

Luas permukaan kerucut = luas alas kerucut + luas selimut kerucut

                               

Jadi rumus luas permukaan kerucut adalah:

   

        atau

Dimana:

r = jari-jari alas kerucut

s = garis pelukis kerucut

D.     Volume Kerucut

Keucut dapat dipandang sebagai limas tegak yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Jadi rumus volume kerucut dapat dicari dengan menggunakan rumus limas dan dinyatakan sebagai berikut:

Karena alas kerucut berbentuk lingkaran maka rumus vlume kerucut dapat ditulis

          

Jadi rumus volume kerucut adalah:

Dimana:

r = jari-jari alas kerucut

t = tinggi kerucut

 atau      

E.     Contoh Soal

1.     Sebuah kerucut mempunyai jari-jari alas 7 cm dan tinggi 24 cm. Hitunglah!

a.     Panjang garis pelukisnya

b.     Luas selimut kerucut

b.     luas permukaan kerucut

Penyelesaian:

Kita misalkan bahwa garis pelukis kerucut tersebut adalah s

Diketahui:

r = 14 cm

t = 48 cm

Ditanyakan:

a.     s = . . . .

b.     L _{selimut kerucut} = . . . .

c.     L _{permukaan kerucut} = . . . .

Solusi

a.     s² = r² + t²

           = 7² + 24²

           = 49 + 576

           = 625

        s =

         = 25 cm

Jadi, panjang garis pelukisnya adalah 25 cm.

                         

                                          = 550 cm²

                            

                            

                                          = 22 × 32

                                                 = 704 cm²

2.     Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alas 15 cm dan panjang garis pelukis 17 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui:

r = 15 cm

s = 17 cm

Ditanyakan:

V _kerucut = . . . .

Solusi

V _kerucut =

Karena t belum diketahui maka kita mencari nilai t terlebih dahulu menggunakan teorema Pythagoras

t² = s² – r²

    = 17² - 15²

    = 289 - 225

    = 64

     = 8 cm

           

                    = 4003,5 cm³