“Kekuatan terbesar dalam perhitungan modern terdapat pada
tiga penemuan: notasi [bilangan] Arab, bilangan berbasis sepuluh dan logaritma”
(The miracuolus powers of modern calculation are due to three
inventions:the Arabic Notation, Decimal Fractions, and Logarithms)
Florian Cajori
Riwayat
Signifikansi perkembangan matematika pada abad pertengahan di
Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan
julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh,
tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang
wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian.
Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara
mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah
terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di
Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab
memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal
setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan
menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua
kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada
matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya
yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria,
Yunani, Sisilia.
Mengarang
buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan
– apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral
Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan
angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan
angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.
Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah
digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan
angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan
menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian
persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi
dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang,
ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di
sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin
keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran
(kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih
dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber
Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap.
Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung,
Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.
Problem
kelinci
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang
diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama
kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang
Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum
problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem
kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.
“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu
tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak
kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”
ª Akhir
bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci
beda jenis kelamin.
ª Akhir
bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2
pasang kelinci.
ª Akhir
bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada
3 pasang kelinci.
ª Akhir
bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci
betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila
proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 54.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci
memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.
Deret
Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam
melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci
adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian.
Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa.
Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak
mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal
dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi
matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang
diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan
(dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya.
Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3);
angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4);
angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan
seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur
bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga
jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui
urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak
(moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau
berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur
spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.
Kaitan
dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan
bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari
arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan
tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret
Fibonacci di bawah ini.
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55;
144/89…
Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan
sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama
ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan
nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.
Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618
Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa
deret Fibonacci mendekati nisbah emas.
Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan
b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan
b/a ≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)
Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk
persamaan di atas.
Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil: Φ²
– Φ – 1 = 0
Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618
Revolusi
Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses
aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini
lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan
untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa,
bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan
berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12.
Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah.
Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan
kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100,
sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan
1/25 1/5 ¼ ½.
Masih belum jelas, terlebih notasi:
1 6 2
2 9 10 yang berarti:
1 + 6 + 2
2.9.10 9.10 10
Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang jaman kuno sudah
mampu mengoperasikan sistem bilangan sebegitu rumitnya. Penulisan pecahan di
atas diadopsi dari sistem bilangan Byzantium.
Jangan salah mengartikan dengan Nautilus yang menjadi nama
kapal selam pada buku karangan Jules Verne “20.000 Leagues Under the Sea”
Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak
lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah
sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi
jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah
emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa –
mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan
Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua
Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan
untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang
diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.
No comments:
Write komentar