Himpunan

A. Teori Himpunan

Topik teori himpunan merupakan landasan penting untuk pemahaman teori peluang. Berbagai persoalan peluang akan lebih mudah dipahami apabila seseorang telah memiliki bekal pengetahuan dasar tentang teori himpunan.

1. Himpunan dan Keanggotaan

Himpunan adalah kumpulan sejumlah benda atau objek yang didenifisikan dengan jelas, sedangkan anggota adalah objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan.

Objek suatu himpunan sangat bervariasi seperti :

a. Angka;

b. Huruf;

c. Buah-buahan;

d. Hewan;

e. Benda lain;

f. Berupa orang dan lain-lain.

2. Cara menyatakan himpunan

Penulisan sebuah himpunan dapat dilakukan dengan 2 macam cara yaitu :

a. Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh objek yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Misalnya : Himpunan A terdiri dari bilangan 1,2,3,4, dan 5, ditulis dengan cara daftar A = {1,2,3,4,5}

b. Cara kaidah ialah dengan menyatakan ciri tertentu dari objek yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Misalnya : Himpunan A di atas kalau ditulis dengan cara kaidah adalah A={x|x bilangan bulat, 0<x<6 berarti="" himpunan="" i="" nbsp="" yang="">A

terdiri dari x sebagai objeknya, dimana x adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol tetapi kurang dari 6.

3. Himpunan semesta dan himpunan kosong

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan. Sedangkan himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Himpunan semesta biasanya ditulis dengan simbol atau lambang S sedangkan himpunan kosong biasanya dilambangkan dengan Ø (dibaca; himpunan kosong) atau { }.

“Secara teoretis, himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan”

4. Bilangan kardinal

Bilangan kardinal adalah banyaknya anggota suatu himpunan. Notasi yang digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal sebuah himpunan A adalah n(A). Hipmpunan A dan B di atas mempunyai bilangan kardinal yang sama, yaitu n(A) = n(B) = 4. Namun, bilangan kardinal ini akan digunakan secara terbatas pada aljabar himpunan dan perhitungan nilai peluang.

5. Aljabar himpunan

Ada beberapa aturan main dalam mengoperasikan himpunan sebagai bagian dari aljabar himpunan :

a. Gabungan

Misalkan: A dan B, gabungan (union) A dan B dituliskan dengan notasi A U B (baca; A gabung B) adalah himpunan yang memuat anggota milik A atau milik B. Dalam bentuk simbol ditulis A U B ={x | x Є A atau x Є B}.

b. Irisan

Irisan (intersection) himpunan A dan himpunan B, ditulis dengan notasi A ∩ B (dibaca; A iris B), adalah himpunan yang memuat anggota persekutuan A dan B. Dalam bentuk simbol ditulis A ∩ B = {x | x Є A dan x Є B}.

c. Komplemen dan selisih

Komplemen dari himpunan A, dituliskan dengan notasi A^k (dibaca; A komplemen), adalah himpunan yang memuat semua anggota S yang tidak dimiliki oleh A. Dalam bentuk simbol ditulis A^k = {x | x Є S dan x Є A} .

d. Hukum-hukum dalam aljabar himpunan

Hukum-hukum tersebut diberikan dengan tetap menggunakan simbol S sebagai himpunan semesta, A, B dan C sebarang himpunan S.

1). Hukum idempoten

a). A U A = A

b). A ∩ A = A

2). Hukum asosiatif

a). ( A U B )  U C = A U ( B U C )

b). ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

3). Hukum komutatif

a). A U B = B U A

b). A ∩ B = B ∩ A

4). Hukum distributif

a). A U ( B ∩ C ) = (A U B ) ∩ ( B U C )

b). A ∩ ( B U C ) = (A ∩ B ) U ( B ∩ C )

5). Hukum identitas

a). A U Ø = A

b). A ∩ S = A

c). A U S = S

d). A ∩ Ø = Ø

6). Hukum kelengkapan

a). A U A^k = S

b). A ∩ A^k = Ø

c). (A^k )^k = A

d). S^k = Ø, Ø^k = S

7). Hukum de Morgan

a). (A U B)^k =  A^k ∩ B^k

b). (A ∩ B)^k =  A^k U B^k