HAKIKAT MATEMATIKA

HAKIKAT MATEMATIKA

Matematika Iwan Ridwan   September 14, 2022

Matematika adalah suatu ilmu pengetetahuan yang bersifat deduktif  aksiomatik yang berkenaan ide-ide abstrak yang diberi simbol-simbol yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif. Pada hakikatnya belajar matematika adalah suatu aktivitas mental untuk memahami arti dan hubungan-hubungan dan simbol-simbol kemudian menerapkan konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi nyata.

Menurut Conelius (Aminah, 2012: 5) mengemukakan 5 alasan perlunya belajar matematika karena metematika merupakan sasaran berpikir yang jelas dan logis, sarana untuk memecahkan masalah kehidupan sehari-hari, sarana mengenal pola-pola hubungan dan generalisasi pengalaman, sarana untuk mengembangkan kreativitas, dan sarana untuk meningkatkan kesadaran terhadap perkembangan belajar.

Menurut Johsnon dan Myklebut (Aminah, 2012: 5) matematika adalah bahasa simbolis yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan-hubungan kuantitatif dan keruangan sedangkan fungsi teoritisnya adalah untuk memudahkan berpikir.

Menurut Jonhson dan Rising (Syamsuddin, 2008: 8) mengatakan bahwa matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide-ide dari pada mengenai bunyi.

Djaali (Syamsuddin, 2008: 8) mengemukakan bahwa matematika sebagai ilmu pengetahuan yang abstrak tentang ruang dan bilangan. Ia sering dilukiskan sebagai kumpulan sistem matematika yang mempunyai  struktur dan hubungan yang teratur menurut aturan yang logis. Suatu kebenaran matematika  dikembangkan berdasarkan atas alasan yang logis dengan menggunakan pembuktian deduktif. 

ATURAN DASAR SISTEM BILANGAN ROMAWI

ATURAN DASAR SISTEM BILANGAN ROMAWI

Matematika Iwan Ridwan   March 11, 2020

Salah satu konsep matematika yang harus dikuasai seorang anak SD, SMP dan SMA adalah bilangan romawi. Selama ini, ada saja anak yang mengalami kerepotan ketika harus berurusan dengan huruf-huruf yang melambangkan bilangan ini. Padahal ada cara mudah yang dapat dilakukan, yaitu dengan memahami aturan dasar yang berlaku di bilangan romawi.

Untuk mengajarkan seorang anak tentang bilangan romawi, mintalah dia untuk terlebih dahulu mengingat 7 huruf yang melambangkannya. Ketujuh huruf tersebut adalah :

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Baca Juga : Himpunan
Adapun aturan dasarnya seperti ini :

1. Pengulangan hanya bisa dilakukan pada bilangan 1, 10, 100 dan 1000 (minta anak memperhatikan pola yang terlihat). Jadi tak ada pengulangan untuk 5, 50 dan 500.

Contoh : II = 2 atau CCC = 300

Tapi tidak boleh VV untuk menyatakan 10 (10 dilambangkan dengan X).

2. Pengulangan hanya bisa dilakukan paling banyak tiga kali.

Contoh : III = 3 dan MMM = 3000.

3. Jika lambang bilangan yang lebih kecil berada di depan berarti kurang. Dan jika berada di belakang lambang bilangan yang lebih besar berarti tambah.

Contoh : IV= 4 karena 5 – 1 (minta anak memperhatikan bahwa 4 tidak ditulis sebagai IIII seperti yang ditegaskan aturan kedua)

VIII = 8 karena 5+3

Baca Juga : Bilangan Bulat 

4. Aturan nomor 3 hanya berlaku bagi lambang bilangan yang berdekatan atau selang 1.

Contoh : XL = 40 karena 50-10

XC = 90 karena 100-10

Tapi tak bisa XD melambangkan 490 (500-10) karena penulisan yang tepat untuk 490 adalah CDXC (CD = 400 dan XC=90).

5. Untuk bilangan lebih dari 5000 terjadi pengulangan dengan menambah garis pada bagian atas lambang bilangan romawi tersebut. Contoh 5000 = (dengan tambahan satu garis di atas V)

Penambahan garis menandakan bahwa bilangan dimaksud dikali 1000.

Baca Juga : Bagian-Bagian Tumbuhan Beserta Fungsinya
Setelah itu hendaknya orangtua atau pengajar memberikan banyak contoh soal dan soal-soal untuk memperlancar anak. Berikan soal bolak-balik, yaitu mengubah bentuk sistem bilangan romawi menjadi bentuk arab-hindu yang lazim digunakan dan lakukan hal sebaliknya.

EKSPEKTASI MATEMATIKA

EKSPEKTASI MATEMATIKA

Statistika Iwan Ridwan   November 29, 2019

Pengertian dan jenis-jenis Ekspektasi matematika.

Misalkan x suatu peubah acak dengan ruangnya  dan f . k punya f (x ). Ini berarti bahwa harga-harga x di  terdistribusi yang dinyatakan oleh f (x ). Konsep ekspektasi matematika dalam teori peluang adalah serupa dengan konsep pusat massa dari suatu benda yang memiliki rapat massa f (x ). Konsep ini dirumuskan sebagai berikut .

Definisi : Misalkan  (x) suatu fungsi dari x . besaran

(jika ada), dinamakan ekspektasi matematika atau nilai harapan dari μ(x).

Pada defenisi perlu anda pehatikan baik-baik bahwa μ(x)  adalah fungsi dari x. disebut saja y = μ(x) . Maka y memiliki f,k,p tersendiri dan ruangnya tersendiri . Misalnya f.k.p. nya g(y) dan ruangnya y  maka: 

1. Jika k₁ . k₂……k_m  konstanta - konstanta dan P₁.P₂…….P_m fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :

E [ k1 .v1 + k₂.v₂+ ……+ k_m. v_m ] = k₁ E {v₁} + k₂ E [V₂] + …….+ k_m E [ V_m]

Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan ekspektasi matematika. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu.  Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah acak distribisi diskrit dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.

Contoh 1:

Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah : E (X) , E (x ²)dan E ( 6x + 3x ²).

Penyelesaian :

Oleh karena itu

Dan

Konsep ekspektasi matematik dapat dikembangkan pada beberapa peubah acak sekaligus .misalkan f(X₁.X ₂……… Xn). F.k.p bersama dari X₁ .X₂……Xn. Besaran (jika ada):

Dinamakan ekspektasi matematik  atau nilai harapan dari :

u (x₁ . x₂ ….x_n )

Pengamatan terhadap definisi di atas  menunjukkan bahwa ekspektasi matematik, yang diberi  lambing E, adalah suatu operator linier. Artinya E bersifat :

(i). E (k) = k untuk setiap konstanta k

(ii). Jika k suatu konstanta dan v suatu fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka ;

E  [ kv ]   = k E (v)

2. Jika k₁,k₂,…k_m konstanta-konstanta dan v₁.v₂….v_m fungsi-fungsi dari satu atau beberapa peubah acak, maka :

E [ k₁ v₁ + k₂ v₂ + …+ k_m v_m  = k₁ E[v₁] + k₂ E [v₂]+……+k_m E[v_m]

Berikut ini dikemukakan beberapa contoh perhitungan ekspektasi matematik. Contoh pertama tentang satu peubah acak kontinu. Contoh kedua dan ketiga tentang satu peubah acak diskrit , dan contoh keempat tentang dua peubah acak kontinu.

Contoh 2 :

Misalkan x memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah E(X), E(X²) dan EK(6X + 3X²)

Penyelesaian

Contoh 3:

Misalkan X memiliki f. k.p sebagai berikut:

Carilah E(x) dan E(x³)

Penyelesaian:

Contoh 4:

Sebuah kotak  berisi 5 bola, 3 bola merah dan 2 bola putih. Si Budi mengambil 2 bola putih. Si Budi  mengambil 2 bola sekaligus secara acak dari kotak itu.

Untuk setiap bola merah yang mengambil, dia memperoleh hadiah Rp 1000 sedangkan untuk setiap b ola putih yang terambil. Dia mendapat Rp 4000. Berapakah jumlah hadiah yang diharapkan Budi?

Penyelesaian:

Kita tuliskan x peubah acak yang menyatakan jumlah hadiah yang diperoleh akan dicari E(X).

X adalah peubah acak diskrit dan ruangnya adalah

Maka:

Sekarang kita peroleh:

Jadi jumlah hadiah yang diharapkan adalah Rp 4400

Contoh 5

f.k.p. bersama dari x dan y adalah,

Carilah E(x) dan E(xy²)

Penyelesaian:

Catatan:

Perhatikan baik-baik bahwa:

Pada contoh 2,

Pada contoh 3,

Fenomena ini memperlihatkan bahwa pada umumnya belum tentu sama dengan

Dalam praktek, ada beberapa jenis ekspentansi matematika yang sering digunakan. Empat jenis diantaranya akan dibahas di sini, yakni: mean, variasi, fungsi pembangkit momen dan fungsi karakteristik.

Untuk itu misalkan peubah acak x memiliki f,k,p f(x).

1).Mean dari x

Besaran  dinamakan mean dari x. Telah diutarakan di depan bahwa pengertian ekspektasi matematik serupa dengan pengertian pusat masa. Khususnya dalam hal x kontinu, mean μ dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan pusat massa benda yang memiliki rapat massa f(x). Jadi μ dapat diartikan sebagai titik disekitar mana harga-harga terkonsentrasi.

2). Variansi dari x

Besaran α² = [(x – μ)] dinamakan variansi dari x sedangkan α (akar positif dari variansi) dinamakan deviasi standar dari x. Khususx dalam hhal x kontinu, α² dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam kalkulus, formulasi ini menyatakan momen inersia benda yang mempunyai rapat masa f(x), di sekitar μ. Jadi α² dapat diartikan sebagai ukuran penyebaran harga-harga x disekitar titik μ. Pada teorema berikut ditemukan cara menghitung α² yang lebih sederhana.

Teorema 1:

Variasi α² dari x dapat ditulis sebagai berikut:

α² = E(x²) – μ

Bukti :

Catatan :

Khususnya apabila ruang cari x hanya terdiri atas 1 buah titik, maka α² =0

Contoh 6:

Misalkan peubah acak x mempunyai f.k.p sebagai berikut:

Hitunglah mean,variansi dan deviasi standar dari x.

Penyelesaian:

a). Mean dari x, adalah:

jadi, variansi dari x adalah,

c).deviasi standar dari x adalah

Mean dan variansi, tidak dijamin selalu ada. Hal ini akan tergantung kepada f.k.p.nya. Umpamanya seperti pada contoh berikut:

Contoh 7:

Misalkan peubah acak x memiliki f.k.p sssebagai berikut:

Carilah mean dan variansi dari x

Penyelesaian:

Mean dari x adalah:

Jadi, μ tidak ada

Karena μ tidak ada, maka a² pun tidak ada.

Penyelesaian:

Mean dari x, adalah:

Jadi μ tidak ada, maka a² pun tidak ada.

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Asalkan h suatu bilangan riil positif sehingga, harga E [e^tx] untuk setiap t di (-h,h). Fungsi m(t) = E [e^tx];-h dinamakan fungsi pembangkit momen (f,p,m) dari x. Nama ini dipakai, mengingat bahwa fungsi m(t) jika ada, dapat menentukan momen-momen dari x secara langsung.

Salah satu sifat yang penting dari f,p,m. m(t) adalah bahwa m(t) unik untuk setiap f,k,p. Demikianpula sebaliknya, terdapat korespondensi 1-1 antara f,p,m dan f,k,p. Buki dari sifat ini dapat anda temukan dalam mata kuliah analisis. Khusus untuk kasus x diskrit, sifat tersebut dapat dijelaskan melalui contoh berikut:

Contoh 8:

Misalkan sebuah acak x memiliki f,p,m. sebagai berikut:

Tentekan f,p,m dari x memiliki bentuk:

Jadi x dikstrit. Oleh karena itu, kita tuliskan

sekarang perhatikan persamaan berikut.

Kesamaan ini berlaku untuk setiap t. sedangkan x_ix_j bila i.j akibatnya ruas kanan haruslah terdiri atas 4 suku yang tidak nol. Misalkan ruas kanan tersebut adalah:

Jadi dapat kita ambil

Dengan demikian f,k,p dari x adalah:

Catatan: Berdasarkan uraian dan contoh di atas, maka: