Sunday 23 February 2014

Macam-Macam Bilangan


Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan  sebagai angka. Ini adalah suatu perihal yang terlihat sepele. Namun, dalam kenyataannya, karena terlalu sepelenya, banyak pelajar yang tidak tahu ketika disuruh menyebutkan pengertian suatu bilangan.  Maka dari itu kali ini saya akan sedikit mengusik masalah istilah/ pengertian dari beberapa macam bilangan yang sepele ini.





=> Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Contoh :

{3 + 2i}



=> Bilangan Real

Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).
 
=> Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :
   x2 + 1 = 0
atau secara ekuivalen
 
   x2 = -1
atau juga sering dituliskan sebagai

   x = √-1
 
 => Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}



Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.

Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.



Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.
Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
 => Bilanagn Irrasional
Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

π         =          3,141592653358…….. 

√2        =          1,4142135623……..
e          =          2,71828281284590…….

=> Bilangan Bulat

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.

Contoh :
{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
=> Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
 
=> Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.

Contoh :

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
 
=> Bilangan Asli

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).

Contoh :

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}


=> Bilangan Positif

Bilangan negatif (integer positif) adalah bilangan yang lebih besar dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kanan nol pada garis bilangan.

Contoh :
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
 
=> Bilangan Negatif

Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :

{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}


=> Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}


=> Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh :
{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

Thursday 30 January 2014

Perkalian Cepat Angka 11

Satu lagi trik khusus yang akan memudahkan kalian menghitung dengan cepat. Yaitu cara cepat mengalikan angka 11 dengan angka lain. Jujur, rasanya sangat memuaskan sekali bisa menguasai trik ini. Ada beberapa pengalaman orang, yang dapat menjawab soal-soal dengan lebih cepat. Kataknlah seperti mulai dari Sekolah, kuliah, tes masuk Universitas, Pegawai Negeri, kerja, bisnis, dan lainnya. Pokoknya, benar-benar sudah terbukti deh manfaat luar biasanya.
Baiklah. Begini, sebenarnya mengalikan angka 11 ini artinya kita menjumlah beberapa pasang angka. Kecuali jika angka pada ujung bagian. Mari kita masuk ke penjelasannya.
Ada sebuah soal yang begini. 326 x 11 = ….
Untuk menggunakan trik ini, kita mulai dari kanan ke kiri. Ingat, selalu dari kanan ke kiri. Perhatikan langkah-langkah berikut:
  1. Pada titik-titik tempat menjawab yang di paling kiri, tulis angka terakhir dari angka yang akan dikalikan dengan angka 11 tadi. Pada soal, angka itu adalah 326. Maka angka terakhirnya adalah 6. Jadi, tulislah angka 6 di ujung kanan. Sehingga kini menjadi seperti ini: 326 x 11 = …6
  2. Pada sebelah kiri angka 6 tadi, tulislah hasil penjumlahan dari angka paling akhir pada soal dengan angka di sebelah kirinya. Pada soal, angka itu adalah 326. Yakni, penjumlahan dari angka 6 dengan angka 2. Ialah 8. Sehingga jawaban yang kita dapat menjadi seperti ini: 326 x 11 = …86
  3. Pada sebelah kiri angka 8 tadi, tulislah hasil penjumlahan dari angka kedua dari terakhir pada soal dengan angka di sebelah kirinya. Pada soal, angka itu adalah 326. Yakni, penjumlahan dari angka 2 dengan angka 3.  Ialah 5. Sehingga jawaban yang kita dapat menjadi seperti ini: 326 x 11 = …586
  4. Pada sebelah kiri angka 5 tadi, tulislah angka pertama dari angka yang akan dikalikan dengan angka 11 tadi. Pada soal, angka itu adalah 326. Maka angka pertamanya aalah 3. Jadi, tulislah angka 3 di ujung kiri. Sehingga, kini menjadi seperti ini: 326 x 11 = 3586

Anda boleh mengeceknya di kalkulator. Barangkali, beberapa orang tidak langsung bisa mengerti dengan penjelasan di atas. Baiklah, sekarang kita coba dengan penjelasan yang lebih sederhana. Dan agar mempermudah, saya akan memberikannya warna. Karena memang kecepatannyalah yang kita butuhkan. Singkatnya begini.
  1. Tadi ‘kan soal kita, 326 x 11. Maka kita jumlahkanlah dengan metode di atas tadi. Ingat, kita menulisnya dari kanan ke kiri iya. Jadi: (3)(3 + 2)(2 + 6)(6) = 3586. Oke?
  2. Lagi, misal, 2345 x 11. Ingat, dari kanan ke kiri iya. Jadi  (2)(2 + 3)(3 + 4)(4 + 5)(5) = 25795. Right?
  3. Lagi, misal, 7385 x 11. Jadi: (7)(7 + 3)(3 + 8)(8 + 5)(5) = … 
  • Dari yang paling kanan, tulislah angka 5. 
  • Kemudian, angka (8 + 5) = 13. Tulis angka 3 disebelah angka 5 tadi, dan simpan angka 1. 
  • Lalu, (3 + 8) = 11. Ingat angka 1 yang kita simpan tadi, kita tambahkan dengan 11. Sehingga = 12. Lagi, tulis angka 2 disebelah angka 3 tadi, dan simpan angka 1. 
  • Lalu, (7 + 3) = 10. Ingat angka 1 yang kita simpan tadi, kita tambahkan dengan angka 10. Sehingga = 11. Lagi, tulislah angka 1 dan simpan angka 1. 
  • Terakhir, angka paling kiri ditambahkan dengan angka 1 yang kia simpan tadi. Yakni 7 + 1 = 8. Jadi, 7385 x 11 = 81235
Baiklah. Intinya begini, setiap kali kita melihat ada sebuah bilangan dikalikan dengan angka sebelas. Pastilah angka paling kanan pada jawaban itu sama dengan angka paling kanan pada bilangan yang dikalikan dengan sebelas. Contoh 99 x 11. Pastilah angka paling kanan pada jawabannya adalah …9. Kemudian, untuk mendapatkan angka disebelah kirinya adalah dengan cara menjumlahkan angka disebelah kanan tadi dengan yang ada disebelah kirinya. Yakni 9 + 9 = 18. Kalau jumlahnya puluhan, ambil angka satuannya dan simpan angka puluhannya. Sehingga kita tulis jawabannya …89. Lalu kita lihat angka paling kiri tadi. Karena sudah tinggal serndirian, langsunglah kita jumlahkan dia dengan angka simpanan tadi, yaitu 9 + 1 = 10. Maka jika kita tuliskan jawaban yang sebenarnya adalah 1089.
Oke. Sekarang, saatnya berlatih. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan menggunakan trik ini.
1. 88 x 11 =…
2. 234 x 11 = …
3. 436 x 11 = …
4. 3254 x 11 = …
5. 4657 x 11 = …
6. 11 x 78 = …
7. 1000000 x 11 = …
8. 1,25 x 11 = …
9. 10 x 0,4 x 2,5 x 11 = …
10. 99,99 x 11 = …