A.
Pengertian
Fungsi Kepadatan Peluang
Kita telah
mengenal dan memahami pengertian distribusi suatu peubah acak. Dimana,
distribusi peubah acak merupakan kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel
acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X = x).
Distribusi X dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan
terurut. Variabel acak merupakan suatu fungsi acak X yang bernilai riil di mana
nilai-nilainya ditentukan oleh titik sampel-titik sampel S dengan S merupakan ruang
sampel dari suatu percobaan statistik.
Berdasarkan materi distribusi peubah acak, peubah acak terbagi dua
jenis, yaitu: variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Dimana variabel
acak diskrit adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai terhingga atau tak
terhingga tetapi terbilang. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel
acak yang mempunyai nilai-nilai tak terhingga dan tak terbilang. Melalui
pengertian-pengertian diatas kita dapat dengan mudah menghitung peluang dari
suatu peristiwa. Cukup dengan mengamati tabel distribusi peluang. Pengertian
tersebut dapat diperluas pada peubah-peubah acak kontinu melalui konsep fungsi
kepadatan peluang (f.k.p). Dimana jika X adalah variabel acak dan P(X = x)
adalah distribusi probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P (X = x) disebut
fungsi padat peluang.
B.
Fungsi
Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Diskrit
Misalkan e ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi e
terbilang. Misalkan f adalah fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi
kepadatan peluang jika fungsi f memenuhi
sifat-sifat berikut ini:
·
f (x)≥ 0 untuk
setiap x di e
·
.
Jika peubah acak X diskrit dengan fungsi kepadatan peluang f(x),
maka peluang suatu peristiwa A diberikan oleh:
Contoh 1:
Misalkan e = { 0, 1, 2, 3, 4} ruang dari X, dan f adalah
fungsi dari e ke dalam R yang didefinisikan oleh:
; x di e
Buktikan bahwa f suatu fungsi kepadatan peluang.
Hitunglah P( X ≤ 1).
Penyelesaian:
Fungsi
merupakan suatu fungsi kepadatan peluang jika
memenuhi dua sifat f.k.p yaitu
·
f (x)≥ 0 untuk
setiap x di e
jelas bahwa f(x) ≥ 0 untuk setiap x di e
karena e = { 0, 1, 2, 3, 4}
·
.
Bukti
=
=
=
( 1
+ 4 + 6 + 4 + 1)
=
(16) = 1
Jadi
Terbukti
. Ini berarti
bahwa f adalah fungsi kepadatan peluang dari peubah acak diskrit atau f.k.p.
dari X.
Karena f
merupakan f.k.p dari X, maka
P(A)
= P( X ≤ 1)
=
=
=
=
=
=
(5)
=
Jadi, P( X ≤ 1) =
Contoh 2:
Misalkan e = { x | x = 1, 2, 3........} adalah ruang dari peubah acak X.
Misalkan f adalah fungsi dari e ke dalam R yang
didefinisikan oleh f (x) =
untuk setiap x di e.
Buktikan bahwa f suatu fungsi kepadatan peluang.
Hitunglah P(A) dimana A = { x | x = 1, 3, 5........}.
Penyelesaian:
a.
Jelas f(x)≥0
untuk setiap x di e. Akan ditunjukkan bahwa
=
...........
=
...........
=
= 1 +
-
= 1
.
Ini berarti bahwa f adalah f.k.p. dari X.
b.
P (A) =
=
...........)
=
.......)
=
=
=
P (A) = 1
P(A) +
= 1
P (A) = 1
P (A) =
Jadi P(A) =
dimana A = { x | x = 1, 3, 5........} =
.
C.
Fungsi
Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Kontinu
Misalkan e ruang dari peubah acak kontinu X. Jadi e
tak terbilang. Misalkan f adalah fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi
kepadatan peluang jika fungsi f memenuhi
sifat-sifat berikut ini:
·
f (x)≥ 0 untuk
setiap x di e
·
Jika peubah acak X kontinu memiliki fungsi kepadatan peluang f(x),
maka peluang suatu peristiwa A diberikan oleh:
Contoh 1:
Misalkan A = { x | 0 < x < ∞}ruang peubah acak kontinu X, dan f adalah fungsi dari e ke dalam R yang
didefinisikan oleh f(x) =
untuk
setiap x di e.
Buktikanlah bahwa f merupakan f.k.p.
Hitunglah P(X ≤ 1).
Penyelesaian:
Jelas f(x) ≥ 0 untuk setiap x
di e. Akan tetapi ditunjukkan bahwa
=1.
|
|
|
|
=
=
-
=
0 + 1
= 1
Jadi fungsi f adalah f.k.p dari X.
|
|
|
|
=
=
-
=
+ 1
Contoh 2
Misalkan e = { x | 0 < x < 1} adalah ruang dari peubah acak X. Jika f(x) = KX2
untuk setiap x di e, carilah harga X sehingga f merupakan f.k.p dari X.
Kemudian, hitung P(
X
).
Penyelesaian:
a.
Jelas f(x)
≥ 0
untuk setiap x di e. Agar f merupakan
f.k.p.,
|
|
|
|
=
=
.
Karena
haruslah
dimana
, maka
=
, sehingga
K = 3.
b.
|
2
|
|
|
P(
X
) =
=
=
P(
X
) =
P(
X
) =
Jadi,
P(
X
) =
D.
Fungsi
Kepadatan Peluang Bersama dari Beberapa Peubah Acak
Misalkan e ruang bersama cari
.........
. Dalam hal ini
.........
semuanya diskrit, yang berarti e terbilang,
maka fungsi f dari e ke dalam R
yang bersifat:
·
untuk setiap
.........
di e
·
= 1
Dimanakan
f.k.p. bersama dari
.........
. Dalam hal
ini, jika A
e, maka:
P(A) = P
=
Misalkan e ruang bersama cari
.........
. Dalam hal ini
.........
semuanya kontinu, yang berarti e tak
terbilang, maka fungsi f dari e
ke dalam R yang memenuhi sifat:
·
untuk setiap
.........
di e
·
= 1
Dimanakan
f.k.p. bersama dari
.........
. Dalam hal
ini,
P(A) = P
=
Contoh:
Misalkan
e {(x, y) | x =
1, 2, 3, ...... dan y = 1, 2, 3,...... adalah ruang bersama dari X dan Y
. Misalkan f (x, y) didefinisikan oleh:
Buktikan bahwa f
merupakan f.k.p bersama dari X dan Y .
Bukti:
Jelas
untuk setiap (x, y) di e. Akan
ditunjukkan bahwa
= 1. Untuk itu kita buat tabel distribusi
bersama sebagai berikut:
y x 1 2 3 4 ...
1
...
2
...
3
...
. . . . .
. . . . .
(i).
Jumlah baris
pertama adalah:
S1 =
9
Jadi
S1 =
(ii).
Jumlah baris
kedua adalah:
S2 =
9
Jadi S2
=
S
=
=
(iii).
Jumlah baris
ketiga adalah:
S3 = 9
(iv).
Dengan cara
yang sama seperti di atas, maka jumlah baris ke- k adalah:
Sk =
Jadi,
= S1
= S1
= S1
= S1
=
=
= 1
Ini
berarti bahwa f adalah f.k.p. bersama dari x dan y.
huwahahahaha z kira tomi siapa blog iniiiii
ReplyDeletesenior mo je paleee
seniorrrrr ajarka dulueeeee materi ini..........
equationnya gak keluar, apa browser saya yg lg eror?
ReplyDelete