FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Statistika Iwan Ridwan   October 27, 2019

A. Momen

1. Momen

Jika X adlah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan μ’_k) didefinisikan sebagai:

μ’_k = E(X^k_­­­­­), k=1,2,3, ...

2. Momen Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k ( dinotasikan dengan μ’_k) didefinisikan sebagai:

Contoh:

Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X.

Hitung nilai μ’₃

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi momen diskrit, maka:

3. Momen Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen ke-k ( dinotasikan dengan μ’_k) didefinisikan sebagai :

Contoh :

Misalnya fungsi dnsitas dari X berbentuk:

Hitung μ’₃

Penyelesaian :

B.  Fungsi Pembangkit Momen

Pada bagian sebelumnya, kita membahas momen ke-k yang dinotasikan dengan μ’_k. Momen ini bisa juga diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan fungsi pembangkit momen. Sehingga fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen. Selain itu, penentuan distribusi baru dari peubah acak yang baru merupakan kegunaan lain fungsi pembangkit momen.

1. Fungsi pembangkit Momen

Definisi 1

Jika X adalah peubah acak , baik dari diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan (M_x(t)) didefinisikan sebagai:

M_x(t) = E(e^tX)

Untuk –h < t 0

2. Fungsi Pembangkit Momen Diskrit

Definisi 2

Jika  adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :

3. Fungsi Pembangkit Momen Kontinu

Definisi 3

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari x didefinisikan sebagai :

Berikut ini akan dijelaskan dua cara dalam pembuktian bahwa fungsi pembangkit momen itu bisa menghasilkan momen – momen.

1. Jika definisi 1, e^tX diuraikan dengan menggunakan perluasan deret MacLaurin, maka dapat diperoleh :

Jika M_x(t) diturumkan terhadap t, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

Demikian seterusnya, sehinga apabila M_x(t) diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

1. Dalam hal ini, kita akan menurunkan terhadap t dari perumusan pada definisi 1.

Demikian seterusnya, sehingga apabila M_x(t) diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

C. Penurunan Momen Dari Fungsi Pembangkit Momen

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan M_x(t) adalh fungsi pembangkit momennya, maka :

Jika kita memperhatikna uraian diatas, maka syarat fungsi pembangkit momen akan menghasilkan momen–momen adalah –h < t < h dan  h > 0. Apa artinya? Coba kita subsitusikan beberapa nilai h ke dalam –h < t < h.

Untuk h = ½, akan diperoleh -½ < t < ½  

Untuk t =1 ,akan diperoleh -1 < t <  1

Untuk t = 10, akan diperoleh -10 < t < 10
Untuk t = 25, akan diperoleh -25 < t < 25

Untuk t = 100, akan diperoleh -100 < t < 100

Untuk t=200, akan diperoleh -200 < t < 200

Maka kita dapat menyimpulkan bahwa nilai t itu harus mencakup 0 (nol). Akibatnya, apabila fungsi pembangkit momen menghasilkan sebuah fungsi t dengan harga t-nya tidak sama dengan nol, maka kita harus menentukan fungsi pembangkit momen yang berlaku untuk harga t sama dengan nol.

Pemahaman penentuan fungsi pembangkit momen dari sebuah peubah acak, baik diskri maupun kontinu diperjelas melalui contoh berikut:

Contoh:

Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk:

a. Tentukam fumgsi pembangkit momen dari X.

b. Hitung μ’₁ dan μ’₂ berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen.

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka:

KOMBINASI

KOMBINASI

Statistika Iwan Ridwan   October 25, 2019

A. Pengertian Kombinasi

Pada beberapa peristiwa, urutan memegang peranan penting, misalnya membuka pintu garasi dan memasukkan mobil, atau memakai kaos kaki dan memakai sepatu. Urutan peristiwa ini sangat penting dan tidak dapat dipertukarkan urutannya. Peristiwa semacam ini merupakan suatu permutasi.

Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan. Misalnya urutan abc, bca dan acb dianggap sama dan dihitung sekali. Jadi, kita bisa menyimpulkan bahwa kombinasi anggota suatu himpunan adalah pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutannya.

Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk k ≤ n Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan,

Bukti:

Misalkan r bilangan bulat taknegatif.kombinasi r unsur dari sebuah himpunan S dengan n unsur kita memahaminya sebagai jumlah pemilihan yang tak berurut r unsur yang diambil dari n unsur di S.Dengan kata lain,kombinasi r unsur dari sebuah himpunan S dengan n unsur,sama dengan menghitung banyanknya himpunan  bagian S yang terdiri dari r unsur yang dapat dibentuk  dari himpunan n unsur.Beberapa himpunan bagian dengan unsurnya yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama,meskipun urutan unsur – unsurnya berbeda.Jika S={a,b,c,d}, maka {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d} merupakan empat buah kombinasi dengan 3 unsur di S.

Perhatikan bahwa jika r > n,definisikan C(n,r) = 0.Jika  n = 0 dan r bilangan bulat positif,maka C(0,r) = 0.

Fakta berikutnya adalah untuk bilangan bulat tak negatif  n berlaku C(n,0) = 1,C(n,1) = n, dan C(n,n) = 1


Menghitung Banyaknya Kombinasi Yang Mungkin Terjadi

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

tidak ada buah apa pun

• satu buah:
• apel
• jeruk
• mangga
• pisang
• dua buah:
• apel, jeruk
• apel, mangga
• apel, pisang
• jeruk, mangga
• jeruk, pisang
• mangga, pisang
• tiga buah:
• apel, jeruk, mangga
• apel, jeruk, pisang
• apel, mangga, pisang
• jeruk, mangga, pisang
• empat buah:
• apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

B. Jenis – jenis Kombinasi

1. Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan  r adalah jumlah yang harus dipilih.

Contoh:

Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka diperoleh,

Jadi,ada 10 kombinasi pensil yang dapat dibawa ke sekolah

2. Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Contoh:

Jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah

Jadi,ada 220 kombinasi yang dapat dibeli di toko donat tersebut.

C. Menyelesaikan contoh soal Kombinasi

Contoh 1:

Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang yang akan dipilih dari 12 pemain.Dengan berapa macam cara susunan itu dapat dipilih?

Jawab:

Susunan tersebut adalah kombinasi 5 objek dari 12 objek,sebab urutannya tidak diperhatikan.

Jadi,banyaknya cara susunan itu ada 792 cara.

Contoh 2 :

Seorang petani memiliki 4 sapi, 3 kuda, dan 2 kambing dari sesorang yang memiliki 6 sapi, 7 kuda , dan 10 kambing.Berapa cara g dapat digunakan oleh petani itu untuk memilih hewan tersebut?

Jawab:
Petani dapat memilih sapi itu dengan

kuda dengan

kambing dengan

Jadi dengan prinsip dasar pembilang, petani itu dapat memilih hewan dengan 15 × 35 × 45 = 23625 cara.

Contoh 3 :

Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih dan 4 kelereng merah.Dari kantong itu diambil  3 kelereng sekaligus secara acak.Ada berapa cara pengambilan,jika kelereng yang diambil adalah:

a. Ketiganya berwarna putih?

b. 2 kelereng berwarna putih dan 1 kelereng merah?

c. Satu kelereng berwarna putih dan 2 kelereng merah?

d. Ketiganya bebas warnanya?

Jawab:

a. Banyaknya cara pengambilan 3 kelereng putih adalah C(6 , 3)

Jadi, banyaknya cara pengambilan adalah 20 cara.

b. Banyaknya cara pengambilan 2 kelereng putih adalah C(6,2) dan banyak cara pengambilan 1 kelereng merah adalah C(4,1).Maka banyak cara pengambilan seluruhnya adalah C(6,2) × C(4,1)

C(6,2) × C(4,1) = 15 × 4 = 60
Jadi,banyak cara pengambilan adalah 60 cara.

c. Banyak cara pengambilan 1 kelereng putih adalah (6,1) dan banyaknya cara pengambilan 2 kelereng merah adalah C(4,2) ,maka cara pengambilan seluruhnya adalah sebanyak C(6,1) × C(4,2)

C(6,1) × C(4,2) = 6 × 6 = 36

Jadi,banyaknya cara pengambilan adalah 36 cara

d. Banyaknya cara  penambilan 3 dengan warna bebas adalah (10 , 3)

Jadi,banyaknya cara pengambilan ada 120 cara

PERMUTASI

PERMUTASI

Matematika Iwan Ridwan   October 25, 2019

A. Definisi permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.

Jika terdapat suatu susunan abjad abcd, maka susunan itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb

bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca

cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba

dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Setiap susunan baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan susunan semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap susunan baru yang memiliki urutan berbeda dari susunan semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

B. Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

1. Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

2. Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

3. Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

4. Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

5. Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak n!.

C. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Perhatikan susunan angka-angka yang terdiri atas 4, 5, dan 6 berikut

456    465    546    564    645    654

Letak angka dalam susunan tersebut mempengaruhi nilai bilangan yang terbentuk. Bilangan-bilangan 456  465. Demikian juga untuk susunan yang lain. Banyak susunan angka ratusan yang dapat dibuat dari 3 buah angka, yaitu 4, 5, dan 6 sebanyak 6 buah. Bagaimana susunanya jika angka-angka yang tersedia 4,5,6,dan 7? Susunan angka ratusan yang mungkin dari 4 angka, yaitu 4,5,6 dan 7 adalah sebagai berikut:

456    465    546    564    645    654

457    475    547    574    745    754

467    476    647    674    746    764

567    576    657    675    756    765

Ternyata ada 24 cara

Susunan obyek-obyek yang memerhatikan susunan seperti ini dinamakan permutasi

Dari permasalahan di atas diperoleh

1. Jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 3 angka yang tersedia, banyak susunannya

2. Jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 4 angka yang tersedia, banyak susunanya

3. Jika kalian teruskan, angka-angka disusun terdiri atas k angka dari n angka yang tersedia, banyak susunanya adalah 

Jadi diperoleh kesimpulan sebagai berikut

Contoh:

Di dalam sebuah kelas, akan dibentuk kepengurusan yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Berapa banyak cara 6 calon yang akan memperebutkan ketiga posisi tersebut?

Penyelesaian:

Karena posisi yang diperebutkan masing-masing berbeda, kasus ini dapat dikerjakan dengan permutasi 3 unsur dari 6 unsur yang tersedia

D. Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama

Pada pembahasan sebelumnya, permutasi memuat unsur yang berbeda. Sekarang, perhatikan unsur  penyusun “APA”  yaitu A, P, A.

Huruf A pada urutan pertama dan ketiga meskipun dibalik akan mempunyai makna yang sama. Misalkan A₁  dan  A₃ masing-masing adalah huruf A yang pertama dan ketiga.

1. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A_1, P, A₃ (A₁  dan A₃  diandaikan berbeda) adalah

³P₃ = 3! = 3 x 2 x 1= 6

Dengan demikian, diperoleh susunan dalam 3 kelompok berikut

a)    A₁PA₃

A₃PA₁

b)   A₁A₃P

A₃A₁P

c)    PA₁A₃

PA₃A₁

2. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A₁PA₃ (A₁ dan A₃ diandaikan sama) susunanya adalah

APA   AAP   PAA

Jadi hanya terdapat 3 cara. Hal ini terjadi karena pada setiap kelompok terdapat 2! = permutasi pada penyusunan 2 huruf A yang sama, yaitu A₁ dan A₃.

Dengan demikian, permutasi 3 unsur, dengan 2 unsur yang sama dari 3 unsur adalah

Secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut.

Aturan ini dapat diperluas sebagai berikut.

Contoh :

1. Tentukan banyak susunan huruf yang dibentuk dari unsur-unsur huruf pembentuk kata PENDIDIKAN

2. Misalnya terdapat 6 bendera dengan rincian 2 bendera berwarna merah, 3 bendera berwarna putih, dan 1 berwarna biru.

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat untuk menyusun bendera itu secara berjajar?

Penyelesaian:

1. PENDIDIKAN

Unsur yang tersedia ada 10

Unsur yang sama adalah

1). k₁ = 2, yaitu huruf N ada 2;

2). k₂ = 2, yaitu huruf D ada 2;

3). k₃  = 2, yaitu huruf I ada 2.

Jadi

2. Banyak susunan yang dapat dibuat adalah

D. Permutasi siklis

Perhatikan gambar berikut 

Perhatikan susunan melingkar pada gambar I. Susunan tersebut dapat dikatakan sebagai susunan dari  ABC, BCA, CAB. Dengan demikian, susunan ABC, BCA, dan CAB pada dasarnya merupakan satu susunan yang sama. Kemudian, jika kita memerhatikan gambar 2, kita menjumpai susunan ACB, CBA, BAC adalah suatu susunan yang sama. Secara keseluruhan susunan itu ada 2 macam, yaitu

Susunan 1 : ABC, BCA, CAB

Susunan 2 : ACB, CBA, BAC

Penenpatan pada unsur-unsur dalam permutasi seperti inilah yang disebut permutasi siklis. Jadi permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar.

Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang disusun secara melingkar  maka tentukan sebuah titik yang dianggap sebagai titik tetap. Kemudian, sisanya dianggap sebagai penyusunan (n - 1) unsur dari (n-1) unsur yang berbeda.

Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.

Jika terdapat 3 objek disusun secara melingkar, banyak susunan yang mugkin yaitu 2! = (3- 1)!

Jika terdapat 4 unsur disusun secara melingkar , banyak susunan yang mugkin adalah 3!= (4 – 1)! Dan seterusnya. Misalkan terdapat n unsur yang berbeda disusun secara melingkar. Banyak susunan dapat ditentukan dengan permutasi siklis dengan aturan 

Contoh:

Sebanyak 6 orang mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar. Berapakah banyak cara mereka menempati kursi yang disusun melingkar itu?

Penyelesaian:

Banyak cara mereka menempati kursi adalah

P_siklis = (6 - 1)! = 5! = 120 cara.