PERMUTASI

PERMUTASI

Matematika Iwan Ridwan   October 25, 2019

A. Definisi permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.

Jika terdapat suatu susunan abjad abcd, maka susunan itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb

bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca

cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba

dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Setiap susunan baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan susunan semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap susunan baru yang memiliki urutan berbeda dari susunan semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

B. Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

1. Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

2. Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

3. Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

4. Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

5. Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak n!.

C. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Perhatikan susunan angka-angka yang terdiri atas 4, 5, dan 6 berikut

456    465    546    564    645    654

Letak angka dalam susunan tersebut mempengaruhi nilai bilangan yang terbentuk. Bilangan-bilangan 456  465. Demikian juga untuk susunan yang lain. Banyak susunan angka ratusan yang dapat dibuat dari 3 buah angka, yaitu 4, 5, dan 6 sebanyak 6 buah. Bagaimana susunanya jika angka-angka yang tersedia 4,5,6,dan 7? Susunan angka ratusan yang mungkin dari 4 angka, yaitu 4,5,6 dan 7 adalah sebagai berikut:

456    465    546    564    645    654

457    475    547    574    745    754

467    476    647    674    746    764

567    576    657    675    756    765

Ternyata ada 24 cara

Susunan obyek-obyek yang memerhatikan susunan seperti ini dinamakan permutasi

Dari permasalahan di atas diperoleh

1. Jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 3 angka yang tersedia, banyak susunannya

2. Jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 4 angka yang tersedia, banyak susunanya

3. Jika kalian teruskan, angka-angka disusun terdiri atas k angka dari n angka yang tersedia, banyak susunanya adalah 

Jadi diperoleh kesimpulan sebagai berikut

Contoh:

Di dalam sebuah kelas, akan dibentuk kepengurusan yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Berapa banyak cara 6 calon yang akan memperebutkan ketiga posisi tersebut?

Penyelesaian:

Karena posisi yang diperebutkan masing-masing berbeda, kasus ini dapat dikerjakan dengan permutasi 3 unsur dari 6 unsur yang tersedia

D. Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama

Pada pembahasan sebelumnya, permutasi memuat unsur yang berbeda. Sekarang, perhatikan unsur  penyusun “APA”  yaitu A, P, A.

Huruf A pada urutan pertama dan ketiga meskipun dibalik akan mempunyai makna yang sama. Misalkan A₁  dan  A₃ masing-masing adalah huruf A yang pertama dan ketiga.

1. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A_1, P, A₃ (A₁  dan A₃  diandaikan berbeda) adalah

³P₃ = 3! = 3 x 2 x 1= 6

Dengan demikian, diperoleh susunan dalam 3 kelompok berikut

a)    A₁PA₃

A₃PA₁

b)   A₁A₃P

A₃A₁P

c)    PA₁A₃

PA₃A₁

2. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A₁PA₃ (A₁ dan A₃ diandaikan sama) susunanya adalah

APA   AAP   PAA

Jadi hanya terdapat 3 cara. Hal ini terjadi karena pada setiap kelompok terdapat 2! = permutasi pada penyusunan 2 huruf A yang sama, yaitu A₁ dan A₃.

Dengan demikian, permutasi 3 unsur, dengan 2 unsur yang sama dari 3 unsur adalah

Secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut.

Aturan ini dapat diperluas sebagai berikut.

Contoh :

1. Tentukan banyak susunan huruf yang dibentuk dari unsur-unsur huruf pembentuk kata PENDIDIKAN

2. Misalnya terdapat 6 bendera dengan rincian 2 bendera berwarna merah, 3 bendera berwarna putih, dan 1 berwarna biru.

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat untuk menyusun bendera itu secara berjajar?

Penyelesaian:

1. PENDIDIKAN

Unsur yang tersedia ada 10

Unsur yang sama adalah

1). k₁ = 2, yaitu huruf N ada 2;

2). k₂ = 2, yaitu huruf D ada 2;

3). k₃  = 2, yaitu huruf I ada 2.

Jadi

2. Banyak susunan yang dapat dibuat adalah

D. Permutasi siklis

Perhatikan gambar berikut 

Perhatikan susunan melingkar pada gambar I. Susunan tersebut dapat dikatakan sebagai susunan dari  ABC, BCA, CAB. Dengan demikian, susunan ABC, BCA, dan CAB pada dasarnya merupakan satu susunan yang sama. Kemudian, jika kita memerhatikan gambar 2, kita menjumpai susunan ACB, CBA, BAC adalah suatu susunan yang sama. Secara keseluruhan susunan itu ada 2 macam, yaitu

Susunan 1 : ABC, BCA, CAB

Susunan 2 : ACB, CBA, BAC

Penenpatan pada unsur-unsur dalam permutasi seperti inilah yang disebut permutasi siklis. Jadi permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar.

Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang disusun secara melingkar  maka tentukan sebuah titik yang dianggap sebagai titik tetap. Kemudian, sisanya dianggap sebagai penyusunan (n - 1) unsur dari (n-1) unsur yang berbeda.

Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.

Jika terdapat 3 objek disusun secara melingkar, banyak susunan yang mugkin yaitu 2! = (3- 1)!

Jika terdapat 4 unsur disusun secara melingkar , banyak susunan yang mugkin adalah 3!= (4 – 1)! Dan seterusnya. Misalkan terdapat n unsur yang berbeda disusun secara melingkar. Banyak susunan dapat ditentukan dengan permutasi siklis dengan aturan 

Contoh:

Sebanyak 6 orang mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar. Berapakah banyak cara mereka menempati kursi yang disusun melingkar itu?

Penyelesaian:

Banyak cara mereka menempati kursi adalah

P_siklis = (6 - 1)! = 5! = 120 cara.

Prinsip Dasar Perhitungan dan Kaidah Pencacahan

Prinsip Dasar Perhitungan dan Kaidah Pencacahan

Statistika Iwan Ridwan   October 23, 2019

A. Prinsip Dasar Perhitungan

Ada dua prinsip dasar yang digunakan dalam menghitung yaitu aturan penjumlahan dan aturan perkalian.   

1. Prinsip dasar perhitungan

Jika suatu himpunan A terbagi dalam himpunan bagian A1, A2,...An, maka jumlah unsur pada himpunan A akan sama dengan jumlah semua unsur yang ada pada setiap himpunan bagian A1, A2,...An.

Secara tidak langsung, pada prinsip penjumlahan, setiap himpunan bagian  A1, A2,...An, tidak saling tumpang tindih ( saling lepas ). Untuk himpunan yang saling tumpang tindih tidak berlaku lagi prinsip penjumlahan, dan ini harus diselasaikan dengan prinsip inklusi-ekslusi yang akan dibahas kemudian.

Contoh :

a. Seorang guru SD di daerah, mengajar murid kelas 4, kelas 5, dan kelas 6. Jika jumlah murid kelas 4 adalah 25 orang dan jumlah murid kelas 5 adalah 27 orang serta jumlah murid kelas 6 adalah 20 orang, maka jumlah murid yang diajar guru tersebut adalah 25+27+20= 72 murid

b. Seseorang mahasiswa ingin memebeli sebuah motor. Ia dihadapkan untuk memilih pada setu jenis dari tiga merek motor, honda 3 pilihan, susuki 2 pilihan, dan yamaha 2 pilihan. Dengan demikian, mahasiswa tersebut mempunyai pilihan sebanyak 3+2+2=7 pilihan

2. Prinsip perkalian

Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah dalam dua penugasan. Penugasan pertama dapat dilakukan dalam n₁ cara, dan tugas ke dua dapat dilakukan dalam n₂ cara setelah tugas pertama dilakukan. Dengan demikian, dalam mengerjakan prosedur tersebut pada (n₁ x n₂) cara. Secara tidak langsung, pada perinsip perkalian, bisa terjadi saling tumpang tindih (tidak saling lepas).

Contoh :

Seorang guru SD didaerah, mengajar murid kelas 4, kelas 5, dan kelas 6. Jika jumlah murid kelas 4 adalah 25 orang dan jumlah murid kelas 5 adalah 27 orang serta jumlah murid kelas 6 adalah 20 orang, jika guru tersebut ingin memilih tiga orang murid dari anak didiknya, dimana seorang murid dari setiap kelas, maka guru tersebut mempungai 25x27x20=13500 cara dalam memilih susunan 3 murid tersebut

B. Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan atau Counting Slots  adalah suatu aidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa  banyak cara yang terjadi darisuatu peristiwa.

Kaidah pencacahan terdiri atas:

1. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots),

2. Permutasi,

3. Kombinasi.

Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)

Jika suatu peristiwa dapat dikerjakan dengan K₁ cara yang berbeda, peritiwa kedua dapat dikerjakan dengan K₂ yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, dimana K = K₁ x K₂ x ... ... x K_n.
K disebut dengan istilah banyaknya tempat tempat yang tersedia dengan aturan perkalian atau kaidah perkalian.

Untuk menentukan banyaknya tempat yang gtersedia dapat mengunkanan tabel siang, diagram pohon, dan pasangan berurutan.

Contoh :

Misalkan ada 2 celana berwarna hitam dan biru serta 4 baju berwarna kuning, merah, purih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk ?

Dari contoh kasus di atas, dapat diselesaikan dengan kaidah pencacaha. Banyaknya cara yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut, dapat diketahui dengan meggunakan metode berikut.

1. Diagram Pohon

Diagram pohon merupakan suatu metode yang ditempuh dalam menentukan banyak cara yang terjadi dalam sebuah peristiwa yang biasanya berbentukpohon karena bercabang.

Contoh kasus di atas.

2. Tabel Silang

Metode tabel silang adalah metode yang digunakan dalam menentukan suatu cara dalam sebuah peristiwa yang biasanya disajikan dalam bentuk tabel.

Misalkan dari contoh kasusu di atas, maka penyelesaian dengan metode tabel silang adalah sebagai berikut.

Celana	Baju
	Kuning (K)	Merah (M)	Putih (P)	Ungu (U)
Hitam (H)	HK	HM	HP	HU
Biru (B)	BK	BM	BP	BU

3. Pasangan Berurutan

Pasangan berurutan merupakan suatu cara menuliskan anggota dua himpunan yang dipasangkan, anggota pertama pasangna itu berasal dari himpunan yang pertama dan anggota kedua berasal dari himpunan yang kedua.

Misalkan A = {Bolpoin, Pensil} dan B = {Merah, Biru, Hitam}. Pasangan berurut A dan B dapat dinyatakan sebagai diagram panah seprti pada gambar

Pada diagram panah diatas dapat disusun pasangan berurutan antara pilihan barang dan pilihan warna sebagai berikut.

( Balpoin, Merah )                         ( Pensil, Merah )

( Balpoin, Biru )                            ( Pensil, Biru )    

( Balpoin, Hitam )                         ( Pensil, Hitam )

Jadi, diperoleh 6 pasang pilihan yang dapat kalian lakukan. 

Bilangan Bulat

Bilangan Bulat

Matematika Iwan Ridwan   October 21, 2019

Sebelum kita membicarakan tentang bilangan bulat, perhatikan terlebih dahulu struktur bilangan berikut:

Dari struktur bilangan tersebut, kita akan membahas bilangan bulat.

1. Bilangan Bulat Positif dan Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat biasanya dilambangkan dengan huruf B dan dituliskan dengan B = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.

Bilangan bulat dapat juga digambarkan pada garis bilangan. Perhatikan gambar garis bilangan pada diagram berikut ini.

Contoh.

Tuliskanlah:

a. Himpunan bilangan bulat di antara –8 dan 4!

b. Himpunan bilangan genap di antara –6 dan 3!

c. Himpunan bilangan ganjil di antara –5 dan 2!

Penyelesaian:

a. Himpunan bilangan bulat di antara –8 dan 4 adalah {–7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}

b. Himpunan bilangan bulat genap di antara –6 dan 3 adalah {–4, –2, 0, 2}.

c. Himpunan bilangan bulat ganjil di antara –5 dan 2 adalah {–3, –1, 1}.

2. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat

Pada garis bilangan berlaku:

a. Jika a terletak di sebelah kanan b, maka a > b.

b. Jika a terletak di sebelah kiri b, maka a < b.

Misalkan:

7 berada di sebelah kanan 5, maka 7 > 5

–5 berada di sebelah kiri –3 maka –5 < –3.

Tujuan Belajar dan Pembelajaran

Tujuan Belajar dan Pembelajaran

Matematika Iwan Ridwan   October 17, 2019

Belajar  merupakan  peristiwa sehari-hari di sekolah. Belajar merupakan hal yang kompleks, yang dapat dipandang dari dua subjek yaitu guru dan siswa. Dari segi siswa, belajar dialami sebagai suatu proses mental dalam menghadapi bahan belajar yang berupa keadaan alam, hewan, tumbuh-tumbuhan, manusia dan bahan yang telah terhimpun dalam buku-buku pelajaran. Dari segi guru, proses belajar tersebut tampak sebagai perilaku belajar tentang sesuatu hal.

Belajar merupakan proses internal yang kompleks. Yang terlibat dalam proses internal tersebut adalah seluruh mental yang meliputi ranah-ranah kognitif, afektif dan psikomotorik. Proses belajar yang mengaktualisasikan ranah-ranah tersebut tertuju pada bahan belajar tertentu.

1. Tujuan Instruksional, Tujuan Pembelajaran dan Tujuan Belajar

Dari segi guru tujuan instruksional dan tujuan pembelajaran merupakan pedoman tindak mengajar dengan acuan berbeda. Tujuan instruksional (umum dan khusus) dijabarkan dari kurikulum yang berlaku secara legal di sekolah. Tujuan kurikulum sekolah tersebut dijabarkan dari tujuan pendidikan nasional yang terumus dalam UU pendidikan yang berlaku. Dalam hal ini misalnya, UU Nomor 2 Tahun 1989 tentang sistem pendidikan nasional. Acuan pada kurikulum yang berlaku tersebu, berarti juga mengaitkan pada bahan belajar yang “harus” diajarkan oleh guru. Bahan belajar tersebut ditentukan oleh ahli kurikulum.

Dari segi siwa, sasaran belajar tersebut merupakan panduan belajar. Sasaran belajar tersebut diketahui oleh siswa sebagai akibat adanya informasi guru. Panduan belajar tersebut harus diikuti sebab mengisyaratkan keberhasilan belajar. Keberhasilan belajar siswa berarti tercapainya tujuan belajar siswa, dengan demikian merupakan tercapainya tujuan instruksional, dan sekaligus tujuan belajar perantara bagi siswa. Dengan keberhasilan belajar, maka siswa akan menyusun program belajar dan tujuan belajar sendiri. Bagi siswa, hal itu berarti melakukan emansipasi diri dalam rangka mewujudkan kemandirian.

2. Siswa dan Tujuan Belajar

Siswa adalah subjek yang terlibat dalam kegiatan belajar mengajar di sekolah. Dalam kegiatan tersebut siswa mengalami tindak mengajar dan merespons dengan tindak belajar. Pada umumnya semula siswa belum menyadari pentingnya belajar. Berkat informasi guru tentang sasaran belajar, maka siswa mengetahui apa arti bahan belajar baginya.

Siswa mengalami suatu proses belajar. Dalam proses belajar tersebut, siswa menggunakan kemampuan mentalnya untuk mempelajari bahan belajar. Kemampuan-kemampuan kognitif, afektif dan psikomotorik yang diajarkan dengan bahan belajar menjadi semakin rinci dan menguat. Adanya informasi tentang sasaran belajar, adanya penguatan, adanya evaluasi dan keberhasilan belajar enyebabkan siswa semakin sadar akan kemampuan dirinya. Hal ini akan memperkuat keinginan untuk semakin mandiri.

Kegiatan belajar penting bagi guru dan siswa sendiri. Dalam desain instruksional guru merumuskan tujuan instruksional khusus atau sasaran belajar siswa. Rumusam tersebut disesuaikan dengan perilaku yang dapat dilakukan siswa.

Dari segi guru, guru memberikan informasi tentang sasaran belajar. Bagi siswa, sasaran belajar tersebut merupakan tuuan belajarnya “sementara”. Dengan belajar, maka kemampuan siswa meningkat. Meningkatnya kemampuan mendorong siswa untuk mencapai tujuan belajar yang baru. Bila semua siswa menerima semua sasaran belajar dari guru, maka makin lama siswa membuat sasaran belajar sendiri. Dengan demikian makin lama siswa akan dapat membut program belajarnya sendiri.

Dari kegiatan interaksi belajar mengajar, guru mengajari siswa dengan harapan bahwa siswa dapat belajar. Dengan belajar maka kemampuan siswa akan meningkat. Ranah-ranah kognitif, afektif dan psikomotorik siswa semakin berfungsi. Sementara itu usia dan perkembangan jiwanya juga semakin meningkat. Dari segi perkembangan, anak telah memiliki tujuan sendiri pada usia muda (pubertas) dan dewasa muda. Pada usia tersebut siswa telah sadar dan memiliki rasa tanggung jawab. Dari segi pembelajaran, sadar dan tanggung jawab tersebut perlu pendidikan. Dengan kata lain perlahan-lahan siswa perlu dididik agar memiliki rasa tanggung jawab dan membuat program belajar dengan tujuan belajar sendiri.