Kemampuan Berpikir Kritis

Kemampuan Berpikir Kritis

Filsafat Iwan Ridwan   January 08, 2019

Menurut Peter Reason berpikir (thinking) adalah proses mental seseorang yang lebih dari sekadar mengingat (remembering) dan memahami (comprehending). Menurut Reason, mengingat dan memahami lebih bersifat pasif daripada berpikir (thinking).

Definisi berpikir kritis menurut Hassoubah Berpikir kritis adalah kemampuan memberi alasan secara terorganisasi dan  mengevaluasi kualitas suatu alasan secara sistematis.

Menurut Ennis berpikir kritis adalah berpikir secara beralasan dan reflektif dengan menekankan pada pembuatan keputusan tentang apa yang harus dipercayai atau dilakukan. Sedangkan menurut Chance berpikir kritis adalah kemampuan untuk menganalisis fakta, mencetuskan dan menata gagasan, mempertahankan pendapat, membuat perbandingan, menarik kesimpulan, mengevaluasi argumen dan memecahkan masalah.

Kemampuan Berpikir Kritis adalah kemampuan menggunakan logika untuk membuat, menganalisis mengevaluasi serta mengambil keputusan tentang apa yang diyakini dan dilakukan.

Seseorang yang berpikir kritis akan mengkaji ulang apakah keyakinan dan pengetahu-an yang dimiliki atau dikemukakan orang lain logis atau tidak. Demikian juga seorang yang berpikir kritis tidak akan menelan begitu saja kesimpulan-kesimpulan atau hipotesis yang dikemukakan dirinya sendiri atau orang lain.

Seorang pemikir kritis memiliki sejumlah karakteristik sebagai berikut:

1. Mengemukakan pertanyaan-pertanyaan dan masalah penting, merumuskannya dengan jelas dan teliti

2. Memunculkan ide-ide baru yang berguna dan relevan untuk melakukan tugas. Pemikiran kritis memiliki peran penting untuk menilai manfaat ide-ide baru, memilih ide-ide yang terbaik, atau memodifikasi ide-ide jika perlu

3. Mengumpulkan dan menilai informasi-informasi yang relevan, dengan menggunakan gagasan abstrak untuk menafsirkannya dengan efektif

4. Menarik kesimpulan dan solusi dengan alasan yang kuat, bukti yang kuat, dan mengujinya dengan menggunakan kriteria dan standar yang relevan.

5. Berpikir terbuka dengan menggunakan berbagai alternatif sistem pemikiran, sembari mengenali, menilai, dan mencari hubungan- hubungan antara semua asumsi, implikasi, akibat-akibat praktis

6. Mampu mengatasi kebingungan, mampu membedakan antara fakta, teori, opini, dan keyakinan

7. Mengkomunikasikan dengan efektif kepada orang lain dalam upaya menemukan solusi atas masalah-masalah kompleks, tanpa terpengaruh oleh pemikiran orang lain tentang topik yang bersangkutan

8. Jujur terhadap diri sendiri, menolak manipulasi, memegang kredibilitas dan integritas ilmiah, dan secara intelektual independen, imparsial, netral Mengembangkan sifat berpikir kritis.

Melatih berpikir kritis maka seorang perlu menyadari dan menghindari adanya kecenderungan untuk melakukan kesalahan-kesalahan yang menyebabkan orang tidak berpikir kritis, antara lain sebagai berikut:

1. Dalam suatu argumen terlalu mengeneralisasi posisi atau keadaan. Sebagai contoh, dalam suatu argumen terdapat kecenderungan untuk mengira semua orang tahu, padahal tidak setiap orang tahu. Demikian juga mengira semua orang tidak tahu, padahal ada orang yang tahu. Pemikir kritis berhati-hati dalam menggunakan kata “semua”, atau “setiap”. Lebih aman menggunakan kata “sebagian besar”, atau “beberapa”.

2. Menyangka bahwa setiap orang memiliki bias (keberpihakan) di bawah sadar, lalu mempertanyakan pemikiran refleksif yang dilakukan orang lain. Pemikir kritis harus bersedia untuk menerima kebenaran argumen orang lain. Perdebatan tentang argumen bisa saja menarik, tetapi tidak selalu berarti bahwa argumen sendiri benar.

3. Mengadopsi pendapat yang ego-sensitif. Nilai-nilai, emosi, keinginan, dan pengalaman seorang mempengaruhi keyakinan dan kemampuan orang untuk memiliki pemikiran yang terbuka. Pemikir kritis harus menying-kirkan kesalahan ini dan mempertimbangkan untuk menerima informasi dari luar

4. Mengingat kembali keyakinan lama yang dipercaya dengan kuat tetapi sekarang dittolak

5. Kecenderungan untuk berpikir kelompok, suatu keadaan di mana keyakinan seorang dibentuk oleh pemikiran orang-orang diseki-tarnya ketimbang apa yang ia sendiri alami atau saksikan.

Indikator Berpikir Kritis Menurut Ennis

No	Kelompok	Indikator	Sub Indikator
1	Memberikan penjelasan sederhana	Memfokuskan pertanyaan	a. Mengidentifikasi atau merumuskan pertanyaan b. Mengidentifikasi atau merumuskan kriteria untuk mempertimbangkan kemungkinan jawaban c. Menjaga kondisi berpikir
		Menganalisis argumen	a. Mengidentifikasi kesimpulan b. Mengidentifikasi kalimat-kalimat pertanyaan c. Mengidentifikasi kalimat-kalimat bukan pertanyaan d. Mengidentifikasi dan menangani suatu ketidaktepatan e. Melihat struktur dari suatu argument f. Membuat ringkasan
		Bertanya dan menjawab pertanyaan	a. Memberikan penjelasan sederhana b. Menyebutkan contoh
2	Membangun keterampilan dasar	Mempertimbangkan apakah sumber dapat dipercaya atau tidak	a. Mempertimbangkan keahlian b. Mempertimbangkan kemenarikan konflik c. Mempertimbangkan kesesuaian sumber d. Mempertimbangkan reputasi e. Mempertimbangkan penggunaan prosedur yang tepat f. Mempertimbangkan risiko untuk reputasi g. Kemampuan untuk memberikan alasan h. Kebiasaan berhati-hati
		Mengobservasi dan mempertimbangkan laporan observasi	a. Melibatkan sedikit dugaan b. Menggunakan waktu yang singkat antara observasi dan laporan c. Melaporkan hasil observasi d. Merekam hasil observasi e. Menggunakan bukti-bukti yang benar f. Menggunakan akses yang baik g. Menggunakan teknologi h. Mempertanggungjawabkan hasil observasi
3	Menyimpulkan	Mendeduksi dan mempertimbangkan hasil deduksi	a. Siklus logika Euler b. Mengkondisikan logika c. Menyatakan tafsiran
		Menginduksi dan mempertimbangkan hasil induksi	a. Mengemukakan hal yang umum b. Mengemukakan kesimpulan dan hipotesis c. mengemukakan hipotesis d. merancang eksperimen e. menarik kesimpulan sesuai fakta f. menarik kesimpulan dari hasil menyelidiki
		Membuat dan menentukan hasil pertimbangan	a. Membuat dan menentukan hasil pertimbangan berdasarkan latar belakang fakta-fakta b. Membuat dan menentukan hasil pertimbangan berdasarkan akibat c. Membuat dan menentukan hasil pertimbangan berdasarkan penerapan fakta d. Membuat dan menentukan hasil pertimbangan keseimbangan dan masalah
4	Memberikan penjelasan lanjut	Mendefinisikan istilah danmempertimbangkan suatu definisi	a. Membuat bentuk definisi b. Pendekatan membuat definisi c. bertindak dengan memberikan penjelasan lanjut d. mengidentifikasi dan menangani ketidakbenaran yg disengaja e. Membuat isi definisi
		Mengidentifikasi asumsi-asumsi	a. Penjelasan bukan pernyataan b. Mengonstruksi argument
5	Mengatur pendekatan dan taktik	Menentukan suatu tindakan	a. Mengungkap masalah b. Memilih kriteria untuk mempertimbangkan solusi yang mungkin c. Merumuskan solusi alternatif d. Menentukan tindakan sementara e. Mengulang kembali f. Mengamati penerapannya
		Berinteraksi dengan orang lain	a. Menggunakan argument b. Menggunakan pendekatan logika c. Menggunakan pendekatan retorika d. Menunjukkan posisi, orasi, atau tulisan

Selanjutnya Fisher menekankan indikator keterampilan berpikir kritis yang penting, meliputi:

1. Menyatakan kebenaran pertanyaan atau pernyataan

2. Menganalisis pertanyaan atau pernyataan;

3. Berpikir logis;

4. Mengurutkan, misalnya secara temporal, secara logis, secara sebab akibat;

5. Mengklasifikasi, misalnya gagasan objek-objek;

6. Memutuskan, misalnya apakah cukup bukti;

7. Memprediksi (termasuk membenarkan prediksi);

8. Berteori;

9. Memahami orang lain dan dirinya.

Belajar Bermakna

Belajar Bermakna

Model Pembelajaran Iwan Ridwan   January 08, 2019

Menurut Ausubel bahan subjek yang dipelajari siswa mestilah “bermakna” (meaningfull). Pembelajaran bermakna merupakan suatu proses mengaitkan informasi baru pada konsep-konsep relevan yang terdapat dalam struktur kognitif seseorang. Struktur kognitif ialah fakta-fakta, konsep-konsep, dan generalisasi-generalisasi yang telah dipelajari dan diingat siswa.  Pembelajaran bermakna adalah suatu proses pembelajaran di mana informasi baru dihubungkan dengan struktur pengertian yang sudah dimiliki seseorang yang sedang melalui pembelajaran. Pembelajaran bermakna terjadi apabila siswa boleh menghubungkan fenomena baru ke dalam struktur pengetahuan mereka.

Langkah-langkah yang biasanya dilakukan untuk menerapkan belajar bermakna Ausebel sebagai berikut :
1. Advance Organizer (Handout)

Penyampaian awal tentang materi yang akan dipelajari siswa diharapkan siswa secara mental akan siap untuk menerima materi kalau mereka mengatahui sebelumnya apa yang akan disampaikan guru.

2. Progressive Differensial

Materi pelajaran yang disampaikan guru hendaknya bertahap. Diawali dengan hal-hal atau konsep yang umum, kemudian dilanjutkan ke hal-hal yang khusus, disertai dengan contoh-contoh.

3. Integrative Reconciliation

Penjelasan yang diberikan oleh guru tentang kesamaan dan perbedaan konsep-konsep yang telah mereka ketahui dengan konsep yang baru saja dipelajari.

4. Consolidation

Pemantapan materi dalam bentuk menghadirkan lebih banyak contoh atau latihan sehingga siswa bisa lebih paham dan selanjutnya siap menerima materi baru.

Kemudian Suparno (1997) juga  mengatakan, bahwa pembelajaran bermakna adalah suatu proses pembelajaran dimana informasi baru dihubungkan dengan struktur pengertian yang sudah dipunyai seorang yang sedang dalam proses pembelajaan. Pembelajaran bermakan terjadi bila siswa mencoba menghubungkan fenomena baru ke dalam struktur pengetahuan mereka. Artinya, bahan pelajaran itu harus cocok dengan kemampuan siswa dan harus relevan dengan struktur kognitif yang dimiliki siswa. Oleh karena itu, pelajaran harus dikaitkan dengan konsep-konsep yang sudah dimilki siswa, sehingga konsep-konsep baru tersebut benar-benar terserap olehnya. Dengan demikian, faktor intelektual emosional siswa terlibat dalam kegiatan pembelajaran. Pembelajaran bermakna adalah pembelajaran yang menyenangkan yang akan memiliki keunggulan dalam meraup segenap informasi secara utuh sehingga konsekuensi akhir meningkatkan kemampuan siswa.

Pembelajaran bermakna erat kaitannya dengan teori konstruktivisme pemikiran Vygotsky (Social and Emancipator Constructivism). Paham ini berpendapat bahwa siswa mengkonstruksikan pengetahuan atau menciptakan makna sebagai hasil dari pemikiran dan berinteraksi dalam suatu konteks sosial. Teori belajar ini merupakan teori tentang penciptaan makna. Selanjutnya, teori ini dikembangkan oleh Piaget (Piagetian Psychological Constructivism) yang menyatakan bahwa setiap individu menciptakan makna dan pengertian baru berdasarkan interaksi antara apa yang telah dimiliki, diketahui dan dipercayai dengan fenomena, ide atau informasi baru yang dipelajari.

Langkah-langkah kegiatan yang mengarah pada timbulnya pembelajaran bermakna adalah sebagai berikut:

1.  Orientasi mengajar tidak hanya pada segi pencapaian prestasi akademik, melainkan juga diarahkan untuk mengembangkan sikap dan minat belajar serta potensi dasar siswa.

2.  Topik-topik yang dipilih dan dipelajari didasarkan pada pengalaman anak yang relevan. Pelajaran tidak dipersepsi anak sebagai tugas atau sesuatu yang dipaksakan oleh guru, melainkan sebagai bagian dari atau sebagai alat yang dibutuhkan dalam kehidupan anak.

3.  Metode mengajar yang digunakan harus membuat anak terlibat dalam suatu aktivitas langsung dan bersifat bermain yang menyenangkan.

4.  Dalam proses belajar perlu diprioritaskan kesempatan anak untuk bermain dan bekerjasama dengan orang lain.

5.  Bahan pelajaran yang digunakan hendaknya bahan yang konkret

6.  Dalam menilai hasil belajar siswa, para guru tidak hanya menekankan aspek kognitif dengan menggunakan tes tulis, tetapi harus mencakup semua domain perilaku anak yang relevan dengan melibatkan sejumlah alat penilaian.

Pembelajaran bermakna bisa terjadi jika relevan dengan kebutuhan peserta didik, disertai motivasi instrinsik dan kurikulum yang tidak kaku. Kejadian belajar bermakna didorong oleh hasrat dan intensitas keingintahuan peserta didik tentang bidang studi tertentu. Dalam hubungan ini, Rogers (1969) mengemukakan tentang iklim kelas yang memungkinkan terjadinya belajar bermakna, yaitu sebagai berikut:

1.  Terimalah peserta didik apa adanya.

2.  Kenali dan bina peserta didik melalui penemuannya terhadap diri sendiri.

3.  Usahakan sumber belajar yang mungkin dapat diperoleh peserta didik untuk dapat memlilh dan menggunakannya.

4.  Gunakan pendekatan inquiry-discovery.

5.  Tekankan pentingnya pendekatan diri sendiri dan biarkan peserta didik mengambil tanggung jawab sendiri untuk memenuhi tujuan belajarnya

Gerak Tropisme

Gerak Tropisme

Tumbuhan Iwan Ridwan   January 01, 2019

Gerak tropisme adalah gerak pada tumbuhan yang arahnya dipengaruhi oleh arah datangnya rangsangan. Gerak tropisme dibedakan menjadi 2, yaitu gerak tropisme positif dan gerak tropisme negatif. Dikatakan gerak tropisme positif apabila arah gerak tumbuhan mendekati sumber rangsangan, dan dikatakan gerak tropisme negatif apabila arah gerak tumbuhan menjauhi sumber rangsangannya.

Gerak tropisme dapat terjadi pada semua organ tumbuhan, mulai dari daun, cabang, sulur, kuncup bunga, hingga akar. Adapun berdasarkan jenis rangsangannya, gerak tropisme dibedakan menjadi 5 macam, yaitu gerak fototropisme, gerak geotropisme, gerak hidrotropisme, gerak kemotropisme, dan gerak tigmotropisme.

Baca Juga : Bagian-bagian Tumbuhan Beserta Fungsinya

Baca Juga : Teori Belajar Kognitif

Baca Juga : Strategi Pembelajaran Information Search (Pencarian Informasi)

1. Gerak Fototropisme adalah gerak tumbuhan yang disebabkan pengaruh rangsangan cahaya. Contoh gerak fototropisme misalnya, tanaman yang diletakkan di dalam kamar dekat dengan jendela, cabang dan batang tanaman tersebut akan tumbuh ke arah cahaya yang datang masuk lewat jendela.

2. Gerak Geotropisme sering disebut juga Gravitropisme adalah gerak tumbuhan yang disebabkan pengaruh rangsangan gravitasi bumi. contoh gerak geotropisme adalah gerakan akar yang tumbuh vertikal ke arah pusat bumi.

3. Gerak Hidrotropisme adalah gerak tumbuhan yang disebabkan pengaruh rangsangan sumber air. Contoh gerakan hidrotropisme adalah gerakan ujung akar menuju sumber air.

4. Gerak Kemotropisme adalah gerak tumbuhan yang disebabkan pengaruh rangsangan zat kimia tertentu. Contoh gerak kemotropisme adalah gerakan ujung akar ke arah zat kimia pupuk.

5. Gerak Tigmotropisme sering disebut juga Haptotropisme adalah gerak tumbuhan yang disebabkan pengaruh rangsangan sentuhan atau persinggungan. Contoh gerak tigmotropisme adalah gerak membelit pada ujung sulur tanaman semangka, anggur, kacang panjang, melon, pare, sirih, dan lain-lain sebagainya.

Gerak Pada Tumbuhan

Gerak Pada Tumbuhan

Tumbuhan Iwan Ridwan   December 12, 2018

Salah satu ciri dari mahluk hidup adalah bergerak. Manusia, hewan, dan tumbuhan melakukan pergerakan. Kendati demikian, pergerakan yang dilakukan tumbuhan sangat berbeda dengan pergerakan yang dilakukan manusia dan hewan.

Jika manusia dan hewan dapat melakukan gerak aktif (berpindah tempat), maka tumbuhan hanya dapat melakukan gerak pasif (tidak bisa berpindah tempat). Nah, gerak pada tumbuhan sendiri dapat dibedakan menjadi bermacam-macam.

Gerakan pada tumbuhan dapat terjadi setelah ia memperoleh rangsangan. Rangsangan tersebut bisa berasal baik dari dalam dirinya sendiri maupun dari lingkungan luar. Yang dimaksud dengan rangsangan dalam hal ini dapat berupa air, cahaya, gravitasi bumi, zat kimia, dan lain sebagainya.

Adapun berdasarkan asal rangsangan, gerak pada tumbuhan dapat dibedakan menjadi 2 yaitu gerak endonom dan gerak esionom.

A. Gerak Endonom (Autonom)

Gerak endonom adalah gerak pada tumbuhan yang disebabkan pengaruh adanya rangsangan yang berasal dari dalam tubuh tumbuhan itu sendiri. Oleh karena itu, gerak endonom juga dapat disebut gerak autonom.

Contoh gerak endonom di antaranya adalah gerak higroskopis atau gerak bagian tubuh tumbuhan karena berubahnya kadar air di dalam tubuh. pecahnya kulit buah lamtoro dan turi, serta gerak membukanya kotak spora pada tumbuhan paku dan tumbuhan lumut adalah contoh gerak endonom yang paling sederhana.

B. Gerak Esionom (Etionom)

Gerak etionom adalah gerak pada tumbuhan yang disebabkan pengaruh adanya rangsangan yang berasal dari lingkungan luar. Gerak etionom dibedakan menjadi 3 macam. Macam-macam gerak etinom tersebut beserta contohnya dijelaskan sebagaimana berikut:

1. Gerak Tropisme

Gerak tropisme adalah gerak pada tumbuhan yang arahnya dipengaruhi oleh arah datangnya rangsangan. Gerak tropisme dibedakan menjadi 2, yaitu gerak tropisme positif dan gerak tropisme negatif. Dikatakan gerak tropisme positif apabila arah gerak tumbuhan mendekati sumber rangsangan, dan dikatakan gerak tropisme negatif apabila arah gerak tumbuhan menjauhi sumber rangsangannya.

2. Gerak Nasti

Gerak Nasti adalah gerak pada tumbuhan yang arahnya tidak dipengaruhi oleh arah datangnya rangsangan. Artinya, arah gerak tumbuhan yang mengalami gerak nasti dapat terjadi secara acak.

3. Gerak Taksis

Gerak taksis adalah gerak berpindah tempat pada tumbuhan atau bagian tumbuhan yang arahnya dipengaruhi oleh datangnya rangsangan.

Demikianlah macam-macam gerak pada tumbuhan dan contohnya. Dari pemaparan di atas dapat disimpulkan bahwa selama ini tumbuhan juga melakukan gerak. Gerak pada tumbuhan dibedakan menjadi gerak endonom dan gerak esionom yang masing-masing memiliki karakteristik dan ciri tertentu. Semoga bermanfaat dan mudah dipahami!

PENYELENGGARA PENDIDIKAN

PENYELENGGARA PENDIDIKAN

Pendidikan Iwan Ridwan   November 19, 2018

Pendidikan diselenggarakan oleh pemerintah bersama masyarakat tidak bisa diletakkan. karena pendidikan dapat mencakup satuan pendidikan jalur sekolah dan jalur luar sekolah. pendidikan jalur sekolah meliputi pendidikan berbasis madrasah dan pendidikan umum sampai jenjang pendidikan tinggi dengan penjenjangannya. sedangkan jalur luar sekolah meliputi kursus keterampilan,pendidikan kemasyarakatan,bimbingan belajar.

1. Pendidikan Dasar dan Pendidikan yang Menengah

Pendidikan pada jenjang Dasardan menengah adalah pendidikan jalur sekolah dengan sistem perjenjangan. pendidikan dasar diselenggarakan bertujuann untuk membelaki peserta didik pengetahuan dan keterampilan dasar yang dibutuhkan untuk mendukung kehidupan dalam keluarga dan masyarakat serta untuk mengetahui pendidikan tingkat menengah.

2. Kurikulum dan Proses Pembelajaran

Penyelenggaraan pendidikan diarahkan pada sistem pendidikan terbuka di mana pesetra didik dapat mengambil program pendidikan pada satuan pendidikan lainnya sebagai bagian dari program pendidikan yang utuh.untuk menjamin proses pembelajaran maka penyelenggaraan pendidikan pada tingkat dasar dan menengah minimal terselenggarakan selama 40 jam per minggu dari pukul 7.30 hingga pukul 15.30 seperti jam kerja kantor.

3. Manajemen dan Pembiayaan

Dalam kerangka peningkatan peran serta masyarakat maka dalam bidang pembiayaan pendidikan harus ditanggung bersama antara pemerintah dan masyarakat. Pembiayaan dari pemerintah diarahkan pada kegiatan strategis misalnya,beasiswa,pelayanan pendidikan pedesaan atau kelompok masyarakat yang tidak mampu.Dengan demikian maka pembiayaan pendidikan akan mengikuti pola perdanaan berkeadilan.

4. Pendidikan Tinggi

Khusus untuk perguruan tinggi, jenis pendidikan tinggi dapat berbentuk Universitas,sekolah tinggi,akademi,dan politeknik,sedangkan perjenjangannya meliputi;pendidikan diploma (SO)¸sarjana (S1),magister(S3).pendidikan tinggi diselenggarakan bertujuan untuk menyiapkan peserta didik menjadi anggota masyarakat yang memiliki kemampuan akademik atau profesionalyang mampu menerapkan, mengembangkan atau menciptakan ilmu pengetahuan, teknologi dan atau seni.

5. Kurikulum dan Proses Pembelajaran

Tuntutan otonom yang menghendaki adanya pemindahan kewenangan kepada daerah perlu sekali ditetapkan standar yang bersifat nasional dalam kemampuan akademik dan profesional yang dijadikan acuan untuk penyusunan kurikulum sesuai dengan kepentingan pembangunan.

6. Manajemen dan Pembiayaan

Pendidikan tinggi merupakan badan hukum negara atau masyarakat yang berdasarkan asas nirlaba dan corporate governance. Karenanya manajemennya harus bertumpu pada prinsip otonomi, akuntabilitas dan jaminan mutu. Wujud dari prinsip manajemen tersebut harus dibentuk komite perguruan tinggi dengan anggota perwakilan dari masyarakat.

7. Pendidikan Berbasis Masyarakat

Pendidikan dapat berlangsung di dalam sekolah dan di luar sekolah, namun dalam hal tertentu pendidikan dapat dilaksanakan oleh masyarakat yang merupakan bentuk pertisipasi masyarakat dalam penyelenggaraan pendidikan.

Dalam hal kurikulum dan proses pembelajaran sebaiknya dikembangkan sepenuhnya berbagai upaya yang mengarah kepada perwujudan misi,visi, dan tujuan khusus dari masyarakat yang mendukung lembaga pendidikan yang berbasis masyarakat tersebut dengan didukung proses belajar, kurikulum dan tenaga kependidikan yang kualifaid.

Biografi Leonardo Pisano Bigollo Alias Fibonacci (1170-1240 M)

Biografi Leonardo Pisano Bigollo Alias Fibonacci (1170-1240 M)

Biografi Tokoh Iwan Ridwan   November 17, 2018

“Kekuatan terbesar dalam perhitungan modern terdapat pada tiga penemuan: notasi [bilangan] Arab, bilangan berbasis sepuluh dan logaritma”

(The miracuolus powers of modern calculation are due to three inventions:the Arabic Notation, Decimal Fractions, and Logarithms)

Florian Cajori

Riwayat

Signifikansi perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian.

Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku

Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.

Problem kelinci

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

  

ª Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.

ª Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.

ª Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.

ª Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.

Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja):  54.224.848.179.261.915.075.

Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci

Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.

Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Kaitan dengan nisbah emas

Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.

Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…

Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.

Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618

Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.

Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan

b/a ≈ (a+b)/b

b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)

Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.

Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil: Φ² – Φ – 1 = 0

Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618

Revolusi Fibonacci

Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.

Masih belum jelas, terlebih notasi:

1 6 2

2 9 10 yang berarti:

1 + 6 + 2

2.9.10 9.10 10

Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang jaman kuno sudah mampu mengoperasikan sistem bilangan sebegitu rumitnya. Penulisan pecahan di atas diadopsi dari sistem bilangan Byzantium.

Jangan salah mengartikan dengan Nautilus yang menjadi nama kapal selam pada buku karangan Jules Verne “20.000 Leagues Under the Sea”

Sumbangsih

Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.